請教幾題澳洲AMC和奧林匹克的題目

[han]

各位老師您好，
想請教幾題澳洲AMC和奧林匹克的題目，
感謝您的指導。

第1題答案103，
第2題答案64，
第3題答案54，
第4題答案3，
第5題答案3086，
第6題答案300，
第7題答案2，
第8題答案9，
第9題答案24
第10題答案120。

[thepiano]

第 2 題
最下面那列，由左而右分別是 A_1(阿里)、A_2、A_3、...、A_8
最上面那列，由左而右分別是 B_1、B_2、B_3、...、B_8(小柏)

由 A_1 走 6 個點到 A_2，有 1 種走法
由 A_1 走 6 個點到 B_2，也有 1 種走法

由 A_1 走 9 個點到 B_3，有 1 + 1 種走法
由 A_1 走 9 個點到 A_3，也有 1 + 1 種走法

由 A_1 走 12 個點到 B_4，有 2 + 2 種走法
由 A_1 走 12 個點到 A_4，也有 2 + 2 種走法

故由 A_1 走 24 個點到 B_8，有 2^6 種走法


第 3 題
這題有問題，可畫出無限多種情形


第 4 題
作 DF 垂直 AB 於 F，作 AG 垂直 BC 於 G

令 AB = x，DE = √3x - 3√3
BD = √3，DF = √3/2，BF = 3/2，AF = x - 3/2
AG = x/2，EC = 2√3，GC = (√3/2)x，GE = (√3/2)x - 2√3

△AFD 和 △AGE 相似
(x - 3/2)/(√3/2) = (x/2)/[(√3/2)x - 2√3]
可解出 x，進而求出 DE


第 5 題
令 N = 100x + y，其中 x 和 y 都是兩位數

由除法直式計算易知
N 除以 x 的商是介於 100 ~ 109 之間的整數
(100x + y)/x = 100 + y/x，其中 y 是 x 的倍數

考慮 101 ~ 109 的合數，僅有以下情形
102 = 3 * 34，y = 34，x = 17，N = 1734
104 = 2 * 52，y = 52，x = 13，N = 1352


第 6 題
選 2 個方格塗色，有 C(49，2) = 1176 種情形

除了中心格外，其餘 48 格都能以中心格為對稱格，找到其對應的格子
有 48/2 = 24 種選法，它們在旋轉後，每 2 種是同一種情形

其餘 1176 - 24 = 1152 種，它們在旋轉後，每 4 種是同一種情形

所求 = 24/2 + 1152/4

第 7 題
(1) x ≧ 0
x^2/(x^2 + 1) - 10x/√(x^2 + 1) = a - 5
[x/√(x^2 + 1) - 5)^2 = a + 20
0 ≦ x/√(x^2 + 1) = √[x^2/(x^2 + 1)] < 1
-4 < a ≦ 5

(2) x < 0
x^2/(x^2 + 1) + 10x/√(x^2 + 1) = a - 5
[x/√(x^2 + 1) + 5)^2 = a + 20
-1 < x/√(x^2 + 1) = -√[x^2/(x^2 + 1)] < 0
-4 < a < 5

故 a 的最大整數值 5，最小整數值 -3


第 8 題
ABCD 是等腰梯形
△OBC 是正三角形，BF = OF，CF 垂直 BO
△OFD 是直角三角形，E 是斜邊 CD 中點
......


第 9 題
1/y = 2 - 1/x
16/x^2 + 9/y^2 = 16/x^2 + 9(2 - 1/x)^2
= 25/x^2 - 36/x + 36
= (5/x - 18/5)^2 + 576/25
......

用柯西不等式會比較快

[han]

謝謝thepiano老師的解題方向，
其中有兩個地方還需請老師再說明。

第6題：
所求 = 24/2 + 1152/4，其中24/2這部分我不太理解。

第9題：
配方後，如何選取x，得到最小值？
用柯西不等式的部分，要怎麼湊出來，
謝謝老師的指導。

[thepiano]

第 6 題
那 24 種選法，它們在旋轉後，每 2 種是同一種情形，所以要除以 2

第 9 題
讓 (5/x - 18/5)^2 + 576/25 = 24，解 x

柯西
1/x + 1/y = 2
(16/x^2 + 9/y^2)(1/16 + 1/9) >= (1/x + 1/y)^2
……

[han]

謝謝thepiano老師，我已想通了。

[han]

老師您好，
想再請教第一篇文章中，編號10的圖檔問題(新增)，
(因同為競賽型題目，沒有新增一篇文章，不知道這樣的提問方式會造成困擾嗎？
這個平台很棒，若有不適合的地方，我會改善，謝謝。)

[thepiano]

第 10 題
延長 a 和 c 那兩段，讓它們和正方形的邊相交
再以 b 為邊長作一小正方形
因為 a = b + c
正方形 ABCD 被分割成一個邊長 b 的小正方形和四個兩股長分別是 b + c 和 c 的直角三角形

a + b + c + 2d = 64
b + c + b + c + 2d = 64
b + c + d = 32

(b + c)^2 + c^2 = d^2
(32 - d)^2 + c^2 = d^2
d = c^2/64 + 16
由於 c、d 都是正整數，且 c + d < 32
故僅 c = 8，d = 17，b = 7

所求 = (b + c)c


第 1 題
這種題目有老花的我，通常會跳過

走捷徑，那直行那 18 段都是一直往下，不用考慮
考慮橫列那 19 段，每個橫列都是往左或往右走磚塊長的一半
第 1、2、18、19 都是往右不用考慮
只要考慮 3 ~ 17 這 15 列

由於走捷徑，這 15 列的走法一定有 2 列往左，13 列往右
所求 = C(15，2) - 2

扣掉的兩種，一種是第 3、4 列都往左，另一種是第 3 ~ 15 列都往右

[han]

謝謝老師的說明，解題技巧很厲害。