113 武陵高中
版主: thepiano
Re: 113 武陵高中
計算第 3 題
S_(n+1) = a_1 + a_2 + ... + a_(n+1) ≦ ra_n = r[S_n - S_(n-1)]
S_n ≧ S_(n-1) + [S_(n+1)/r] ≧ 2√[S_(n-1)S_(n+1)/r]
(S_n)^2 ≧ (4/r)S_(n-1)S_(n+1)
S_(n-1)S_(n+1) ≦ (r/4)(S_n)^2
S_(n+1)/S_n ≦ (r/4)[S_n/S_(n-1)] ≦ [(r/4)^2][S_(n-1)/S_(n-2)] ≦ ... ≦ [(r/4)^(n-1)](S_2/S_1)
若 0 ＜ r ＜ 4，當 n → ∞，[(r/4)^(n-1)](S_2/S_1) = 0，不合
故 r ≧ 4
S_(n+1) = a_1 + a_2 + ... + a_(n+1) ≦ ra_n = r[S_n - S_(n-1)]
S_n ≧ S_(n-1) + [S_(n+1)/r] ≧ 2√[S_(n-1)S_(n+1)/r]
(S_n)^2 ≧ (4/r)S_(n-1)S_(n+1)
S_(n-1)S_(n+1) ≦ (r/4)(S_n)^2
S_(n+1)/S_n ≦ (r/4)[S_n/S_(n-1)] ≦ [(r/4)^2][S_(n-1)/S_(n-2)] ≦ ... ≦ [(r/4)^(n-1)](S_2/S_1)
若 0 ＜ r ＜ 4，當 n → ∞，[(r/4)^(n-1)](S_2/S_1) = 0，不合
故 r ≧ 4
Re: 113 武陵高中
第 12 題
原點 O，OP = 2√5，OM = ON = 6
作矩形 PMQN
易知 OP^2 + OQ^2 = OM^2 + ON^2
OQ = 2√13
Q 在以原點為圓心，半徑 2√13 的圓上
|向量 PM + 向量 PN| = |向量 PQ| 的最小值出現在 O、P、Q 共線時
此時 PQ = 2√13 - 2√5
第 13 題
定座標 A(0，2)、B(4，2)、C(x，y)、M(x - 2，0)、N(x + 2，0)
利用 CA^2 = CM^2
可得 C 之軌跡為拋物線 x^2 = 4y，焦點 F(0，1)，準線 y = -1
d + BC = CF - 1 + BC，最小值出現在 F、C、B 共線時
所求 = BF - 1 = √17 - 1
原點 O，OP = 2√5，OM = ON = 6
作矩形 PMQN
易知 OP^2 + OQ^2 = OM^2 + ON^2
OQ = 2√13
Q 在以原點為圓心，半徑 2√13 的圓上
|向量 PM + 向量 PN| = |向量 PQ| 的最小值出現在 O、P、Q 共線時
此時 PQ = 2√13 - 2√5
第 13 題
定座標 A(0，2)、B(4，2)、C(x，y)、M(x - 2，0)、N(x + 2，0)
利用 CA^2 = CM^2
可得 C 之軌跡為拋物線 x^2 = 4y，焦點 F(0，1)，準線 y = -1
d + BC = CF - 1 + BC，最小值出現在 F、C、B 共線時
所求 = BF - 1 = √17 - 1
Re: 113 武陵高中
第 11 題
S_1 = a_1 是 6 的倍數之機率 = 1/6
S_2 = S_1 + a_2 是 6 的倍數之機率 = S_1 * (1/6) + (1 - S_1) * (1/6) = 1/6
第 1 個 1/6 是 a_2 = 6 之機率
第 2 個 1/6 是當 S_1 ≡ 1 (mod 6)，a_2 ≡ 5 (mod 6) 的機率，S_1 ≡ 2 (mod 6)，a_2 ≡ 4 (mod 6) 的機率，依此類推 ...
S_n 是 6 的倍數之機率都是 1/6
所求 = 113/6
計算第 2 題
先證 a^3 + b^3 ≧ a^2b + ab^2
輪換的三式相加後，可得
2(a^3 + b^3 + c^3) ≧ a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2
3(a^3 + b^3 + c^3) ≧ (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2)
(a^3 + b^3 + c^3)/(a^2 + b^2 + c^2) ≧ (1/3)(a + b + c)
輪換的四式相加後，可得題目要證的不等式
S_1 = a_1 是 6 的倍數之機率 = 1/6
S_2 = S_1 + a_2 是 6 的倍數之機率 = S_1 * (1/6) + (1 - S_1) * (1/6) = 1/6
第 1 個 1/6 是 a_2 = 6 之機率
第 2 個 1/6 是當 S_1 ≡ 1 (mod 6)，a_2 ≡ 5 (mod 6) 的機率，S_1 ≡ 2 (mod 6)，a_2 ≡ 4 (mod 6) 的機率，依此類推 ...
S_n 是 6 的倍數之機率都是 1/6
所求 = 113/6
計算第 2 題
先證 a^3 + b^3 ≧ a^2b + ab^2
輪換的三式相加後，可得
2(a^3 + b^3 + c^3) ≧ a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2
3(a^3 + b^3 + c^3) ≧ (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2)
(a^3 + b^3 + c^3)/(a^2 + b^2 + c^2) ≧ (1/3)(a + b + c)
輪換的四式相加後，可得題目要證的不等式
Re: 113 武陵高中
第 4 題
定座標 A(1，0)、B(-1/2，√3/2)、C(cosθ，sinθ)，0 ≦ θ ≦ (2/3)π
cosθ = x - y/2
sinθ = (√3/2)y
x - y = cosθ - (1/√3)sinθ
剩下的就簡單了
第 14 題
z_1 = a + bi，z_2 = c + di
a + 2c = 0
b - 2d = -1
ac - bd = -3
ad + bc = 1
a = -2c 和 b = 2d - 1 代入後兩式
可解出 (a，b，c，d) = (2，1，-1，1) or (2，-2，-1，-1/2)
定座標 A(1，0)、B(-1/2，√3/2)、C(cosθ，sinθ)，0 ≦ θ ≦ (2/3)π
cosθ = x - y/2
sinθ = (√3/2)y
x - y = cosθ - (1/√3)sinθ
剩下的就簡單了
第 14 題
z_1 = a + bi，z_2 = c + di
a + 2c = 0
b - 2d = -1
ac - bd = -3
ad + bc = 1
a = -2c 和 b = 2d - 1 代入後兩式
可解出 (a，b，c，d) = (2，1，-1，1) or (2，-2，-1，-1/2)
Re: 113 武陵高中
第 3 題
104 桃園高中考過，可參考
https://math.pro/db/attachment.php?aid= ... 1713502938
計算第 1 題
(1) 排序不等式
(2) 不失一般性，可設 a ≧ b ≧ c ＞ 0
(c^2 - a^2)/(a + b) + (a^2 - b^2)/(b + c) + (b^2 - c^2)/(c + a)
= (c^2 - b^2)/(a + b) + (b^2 - a^2)/(a + b) + (a^2 - b^2)/(b + c) + (b^2 - c^2)/(c + a)
= (b^2 - c^2)[1/(c + a) - 1/(a + b)] + (a^2 - b^2)[1/(b + c) - 1/(a + b)]
= (b^2 - c^2){(b - c)/[(c + a)(a + b)]} + (a^2 - b^2){(a - c)/[(b + c)(a + b)]
≧ 0
104 桃園高中考過，可參考
https://math.pro/db/attachment.php?aid= ... 1713502938
計算第 1 題
(1) 排序不等式
(2) 不失一般性，可設 a ≧ b ≧ c ＞ 0
(c^2 - a^2)/(a + b) + (a^2 - b^2)/(b + c) + (b^2 - c^2)/(c + a)
= (c^2 - b^2)/(a + b) + (b^2 - a^2)/(a + b) + (a^2 - b^2)/(b + c) + (b^2 - c^2)/(c + a)
= (b^2 - c^2)[1/(c + a) - 1/(a + b)] + (a^2 - b^2)[1/(b + c) - 1/(a + b)]
= (b^2 - c^2){(b - c)/[(c + a)(a + b)]} + (a^2 - b^2){(a - c)/[(b + c)(a + b)]
≧ 0