113 基隆女中

[thepiano]

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填充第 11 題
Σ(n/2^n) = 2
利用 Σ(n/2^n) = 2，可求出 Σ(n^2/2^n) = 6
利用 Σ(n/2^n) = 2 和 Σ(n^2/2^n) = 6，可求出 Σ(n^3/2^n) = 26

Σ{(n^3 + n)/[3 * 2^(n - 1)]}
= (2/3)Σ[(n^3 + n)/2^n]
= (2/3)[Σ(n^3/2^n) + Σ(n/2^n)]
= 56/3

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填充第 3 題
題目有點問題，正三角形和正六邊形不會重疊，應是兩個正六邊形不能重疊
此時邊長 y 和 z 這兩邊的夾角最大是 120 度

面積和 = √3(x^2/2 + 3y^2 + 3z^2) 要最小，x 要最大
此時 x = √(y^2 + z^2 + yz)，y = z
x:y:z = √3:1:1

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填充第 13 題
AB = √11 + x，AD = x，CD = y，BC = √13 - y

x^2 + y^2 = 4^2 = 16
(√11 + x)^2 + (√13 - y)^2 = 4^2 = 16
√11x - √13y = -12

由托勒密定理，BD * AC = (AB * CD + BC * AD)
BD = (√13x + √11y)/4

(√13x + √11y)^2 + (√11x - √13y)^2 = 24(x^2 + y^2) = 24 * 16 = 384
(√13x + √11y)^2 + (-12)^2 = 384
√13x + √11y = 4√15

BD = √15

不過，您實際去解 x 和 y
可得 x = (√195 - √99)/6，y = (√165 + √117)/6 ≒ 3.9 > √13
如此一來，BC = √13 - y < 0
所以這題題目出錯了