99科園國小21.23.26.27.31

[yaai0307]

老師您好，
這份題目有很多不會算，
所以想請教老師這幾題該如何解題！
麻煩您了！
謝謝！

[thepiano]

老實講，國小教師甄試考這種題目有點狠 ......

第 21 題
以下是反例
(A) x = 0，y = i
(B) a = 1，x = √2，b = 2，y = √2 - 1
(C) x = 2^(1/3)


第 23 題
[a，b] = 420
則 a 和 b 必為 420 之因數

420 之因數如下：
1，420
2，210
3，140
4，105
5，84
6，70
7，60
10，42
12，35
14，30
15，28
20，21

找出 a + b = 144 者

易知 a = 84，b = 60


第 26 題
設此等差數列為 a - nd，a - (n - 1)d，......，a - d，a，a+d，......，a + (n - 1)d + a + nd
奇數項之和 = (n + 1)a，偶數項之和 = na
第 (n + 1) 項 = a = (n + 1)a - na
......


第 27 題
令 m^2 + 1203 = k^2
(k + m)(k - m) = 1203 = 3 * 401
故 k + m = 1203，k - m = 1 or k + m = 401，k - m = 3
......


第 31 題
設說出平均數 3 的人，他心裡想的數是 x
則
說出平均數 5 的人，他心裡想的數是 8 - x
說出平均數 7 的人，他心裡想的數是 x + 4
說出平均數 9 的人，他心裡想的數是 12 - x
說出平均數 1 的人，他心裡想的數是 x + 8

x + x + 8 = 4
x = -2


第 33 題
易證出 MN 平行 BC (可自行試試看)

BD：CD = △ABD：△ACD = AB：CD = 9：7
BD = 9/2，CD = 7/2

BM * AB = BD^2
BM = 9/4，AM = 27/4

設 AD 和 MN 交於 E
AM：AB = ME：BD
ME = 27/8
同理 NE = 21/8


第 34 題
令 AB = c，BC = a，CA = b
令 A_1I = x = AA_1，B_2I = y = BB_2
則 (b - x) / b = (x + y) / c = (a - y) / a

令 (b - x) / b = (x + y) / c = (a - y) / a = k
b - x = bk
x + y = ck
a - y = ak
A_1B_2 / AB = k = (a + b) / (a + b + c)

同理 B_1C_2 / BC = (b + c) / (a + b + c)，C_1A_2 / CA = (c + a) / (a + b + c)

這題是選擇題直接把 △ABC 當正三角形來做


第 36 題
作 CD 平行 BQ，且 CD = BQ
BCDQ 是菱形

∠A = DCP，AP = BD = CD，AQ = AB - BQ = AC - AP = CP
△PAQ 和 △DCP 全等
PQ = DP
又 PQ = BC = QD
△PQD 是正三角形

∠QPD = ∠QPC + ∠CPD = 2∠A + ∠A = 60 度

∠A = 20 度


第 37 題
A_1 橫坐標 1
A_2 橫坐標 1
A_3 橫坐標 1 - (2/3)^2
A_4 橫坐標 1 - (2/3)^2
A_5 橫坐標 1 - (2/3)^2 + (2/3)^4
A_6 橫坐標 1 - (2/3)^2 + (2/3)^4
......
A 橫坐標 = 1 / [1 + (2/3)^2] = 9/13

縱坐標部份您自行做做看


第 38 題
將紙復原到圖1的形狀後，圖 4 中的 D 點、P 點均在原位置
但圖 4 中的 C 點變成在圖 2 中的△APQ 往外(右)翻後，∠APQ 之平分線上
而 B 點在圖 4 跟 Q，P 在一直線上，變回圖 2 後，PD 是 ∠BPQ 之平分線
∠CPD = (圖 2 外翻後之∠APQ + ∠BPQ) / 2


第 40 題
圓形跟正方形左邊接觸後，s 會慢慢減少
由於圓形直徑為 2，正方形邊長為 3，故有某段時間 s 最小，此時 s = 3^2 - π
等圓形跟正方形右邊接觸後，s 又會慢慢增加

[yaai0307]

好難呀.........

第 33 題
易證出 MN 平行 BC (可自行試試看)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
老師'，抱歉，我想不出來要怎麼證明,能否麻煩您證明一次！謝謝！

BD：CD = △ABD：△ACD = AB：CD = 9：7
BD = 9/2，CD = 7/2

BM * AB = BD^2
^^^^^^^^^^^^^^^
老師，抱歉，這邊我看不懂！能否在麻煩老師說明一下！
BM = 9/4，AM = 27/4

設 AD 和 MN 交於 E
AM：AB = ME：BD
ME = 27/8
同理 NE = 21/8


第 34 題
令 AB = c，BC = a，CA = b
令 A_1I = x = AA_1，B_2I = y = BB_2
^^^^^
這是指哪邊？
則 (b - x) / b = (x + y) / c = (a - y) / a

令 (b - x) / b = (x + y) / c = (a - y) / a = k
b - x = bk
x + y = ck
a - y = ak
A_1B_2 / AB = k = (a + b) / (a + b + c)

同理 B_1C_2 / BC = (b + c) / (a + b + c)，C_1A_2 / CA = (c + a) / (a + b + c)

這題是選擇題直接把 △ABC 當正三角

[thepiano]

1.
設 AD 和 MN 交於 E
∠ABD = ∠ADC - ∠BAD = ∠ADC - ∠CAD = (1/2)弧AND - (1/2)弧ND = (1/2)弧AN = ∠AMN
MN 平行 BC

連 DM
∠BAD = (1/2)弧DM = ∠BDM
∠B = ∠B
△BDM 和 △BAD 相似
BM：BD = BD：AB
BM * AB = BD^2


2.
A_1(壹) 和 I (唉) 的連線

[yaai0307]

老師，謝謝您不厭其煩的為我們解題...
非常感謝！