請教第一大題的2,3,8,10
以及第二大題的13,18
感謝。
99彰化藝術高中
版主: thepiano
Re: 99彰化藝術高中
第 2 題
a_3 = a_2 + a_1
a_4 = 2a_2 + a_1
a_5 = 3a_2 + 2a_1
a_6 = 5a_2 + 3a_1
a_7 = 8a_2 + 5a_1 = 120
a_8 = 13a_2 + 8a_1
a_1 = (120 - 8a_2) / 5 ＞ 0
(120 - 8a_2) / 5 ＜ a_2
10 ≦ a_2 ＜ 15
易知 a_2 = 10，a_1 = 8
......
第 3 題
令 t = 10^x ＞ 1
t^2 - 10t + k = 0
(1)
(-10)^2 - 4k ≧ 0
(2)
(10 - √[(-10)^2 - 4k] / 2 ＞ 1
......
第 8 題
內心 I，連 AI，BI，CI
設 AI 交 BC 於 F
易知 BF：CF = △ABF：△ACF = AB：BC = 7：9
BF = 7/2，CF = 9/2
令 DI = DB = x，EI = EC = y
則
(7 - x) / 7 = x / (7/2)
(9 - y) / 9 = y / (9/2)
......
第 10 題
此多面體是底面正五邊形，柱高 = 底面邊長的五角柱 ......
第 13 題
a = 23! + 23!/2 + 23!/3 + ...... + 23!/23
上面這 23 個數，分別除以 13 之餘數，除了 23!/13 外都是 0
b ≡ 23!/13 ≡ 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * (-6) * (-5) * (-4) * (-3) * (-2) * (-1) * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * (-6) * (-5) * (-4) * (-3) (mod 13) ≡ 7 (mod 13)
......
第 18 題
(6x^2 - 22x + 18) / (x^3 - 6x^2 + 11x - 6) = 1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3)
剩下的就簡單了 ......
a_3 = a_2 + a_1
a_4 = 2a_2 + a_1
a_5 = 3a_2 + 2a_1
a_6 = 5a_2 + 3a_1
a_7 = 8a_2 + 5a_1 = 120
a_8 = 13a_2 + 8a_1
a_1 = (120 - 8a_2) / 5 ＞ 0
(120 - 8a_2) / 5 ＜ a_2
10 ≦ a_2 ＜ 15
易知 a_2 = 10，a_1 = 8
......
第 3 題
令 t = 10^x ＞ 1
t^2 - 10t + k = 0
(1)
(-10)^2 - 4k ≧ 0
(2)
(10 - √[(-10)^2 - 4k] / 2 ＞ 1
......
第 8 題
內心 I，連 AI，BI，CI
設 AI 交 BC 於 F
易知 BF：CF = △ABF：△ACF = AB：BC = 7：9
BF = 7/2，CF = 9/2
令 DI = DB = x，EI = EC = y
則
(7 - x) / 7 = x / (7/2)
(9 - y) / 9 = y / (9/2)
......
第 10 題
此多面體是底面正五邊形，柱高 = 底面邊長的五角柱 ......
第 13 題
a = 23! + 23!/2 + 23!/3 + ...... + 23!/23
上面這 23 個數，分別除以 13 之餘數，除了 23!/13 外都是 0
b ≡ 23!/13 ≡ 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * (-6) * (-5) * (-4) * (-3) * (-2) * (-1) * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * (-6) * (-5) * (-4) * (-3) (mod 13) ≡ 7 (mod 13)
......
第 18 題
(6x^2 - 22x + 18) / (x^3 - 6x^2 + 11x - 6) = 1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3)
剩下的就簡單了 ......
Re: 99彰化藝術高中
第 4 題
令 y = x + 1
原題轉化成 (y - 1)^10 - 2(y - 1)^5 + 3(y - 1)^2 - 1 除以 y^3 之餘式
用二項式展開 ......
最後 y 之餘式記得轉回 x 之餘式
第 6 題
f(90) + f(93) = 90^2
f(90) = 90^2 - 93
f(87) = 87^2 - 90^2 + 93
f(84) = 84^2 - 87^2 + 90^2 - 93
:
:
f(30) = 30^2 - 33^2 + 36^2 - 39^2 + ...... + 84^2 - 87^2 + 90^2 - 93
= (30^2 - 93) + 3(69 + 81 + 93+ ...... + 165 + 177)
= ......
第 11 題
PTT 數學板第 18087 篇
6/8 由 TsaoCCFGOGO 所發表之文章有此題之解答
標題為 [中學]99彰化藝術高中
令 y = x + 1
原題轉化成 (y - 1)^10 - 2(y - 1)^5 + 3(y - 1)^2 - 1 除以 y^3 之餘式
用二項式展開 ......
最後 y 之餘式記得轉回 x 之餘式
第 6 題
f(90) + f(93) = 90^2
f(90) = 90^2 - 93
f(87) = 87^2 - 90^2 + 93
f(84) = 84^2 - 87^2 + 90^2 - 93
:
:
f(30) = 30^2 - 33^2 + 36^2 - 39^2 + ...... + 84^2 - 87^2 + 90^2 - 93
= (30^2 - 93) + 3(69 + 81 + 93+ ...... + 165 + 177)
= ......
第 11 題
PTT 數學板第 18087 篇
6/8 由 TsaoCCFGOGO 所發表之文章有此題之解答
標題為 [中學]99彰化藝術高中
Re: 99彰化藝術高中
第4題,我覺得可以用泰勒展開式來解會比較簡潔!
第11題
設正面出現x次,反面y次,則
x+y=10,x-y=6,x=8,y=2
分母=C(10,2)=45,分子=C(9,2)-C(9,1)=27,則機率=27/45=3/5
第11題
設正面出現x次,反面y次,則
x+y=10,x-y=6,x=8,y=2
分母=C(10,2)=45,分子=C(9,2)-C(9,1)=27,則機率=27/45=3/5
Re: 99彰化藝術高中
最後一題
將(secx)^2用平方關係式改成1+(tanx)^2
然後移項整理成tanx的一元二次方程式
因為y有解,故此方程式有實數解,D>=0
可解得y的範圍,再取對數就知道a與b......
將(secx)^2用平方關係式改成1+(tanx)^2
然後移項整理成tanx的一元二次方程式
因為y有解,故此方程式有實數解,D>=0
可解得y的範圍,再取對數就知道a與b......
