115 嘉科實中
版主: thepiano
Re: 115 嘉科實中
計算第 1 題
AB = c，BC = a，CA = b
在射線 CA 上取一點 D，使 AD = AP
由 Stewart 定理
PA * BC^2 + PB * CA^2 = AB * (CP^2 + PA * PB)
(3c/4) * [b + (c/2)]^2 + (c/4) * b^2 = c * [CP^2 + (3c/4) * (c/4)]
CP^2 = b * [b + (3c/4)] = CA * CD
CP / CD = CA / CP
△APC 和 △PDC 相似 (SAS)
∠CAP = 2∠CDP = 2∠CPA
AB = c，BC = a，CA = b
在射線 CA 上取一點 D，使 AD = AP
由 Stewart 定理
PA * BC^2 + PB * CA^2 = AB * (CP^2 + PA * PB)
(3c/4) * [b + (c/2)]^2 + (c/4) * b^2 = c * [CP^2 + (3c/4) * (c/4)]
CP^2 = b * [b + (3c/4)] = CA * CD
CP / CD = CA / CP
△APC 和 △PDC 相似 (SAS)
∠CAP = 2∠CDP = 2∠CPA
Re: 115 嘉科實中
填充第 6 題
四根 p、q、r、s
pqrs = 1，|p||q||r||s| = 1，由於四根都在單位圓內或圓上
故 |p| = |q| = |r| = |s| = 1
令 x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1 = (x^2 - 2(cosα)x + 1)(x^2 - 2(cosβ)x + 1)
a = c = -2(cosα + cosβ)
b = 4cosαcosβ + 2
a^2 + c^2 - 8b = 8(cosα - cosβ)^2 - 16
當 cosα = 1，cosβ = -1 時，有最大值 16
四根 p、q、r、s
pqrs = 1，|p||q||r||s| = 1，由於四根都在單位圓內或圓上
故 |p| = |q| = |r| = |s| = 1
令 x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1 = (x^2 - 2(cosα)x + 1)(x^2 - 2(cosβ)x + 1)
a = c = -2(cosα + cosβ)
b = 4cosαcosβ + 2
a^2 + c^2 - 8b = 8(cosα - cosβ)^2 - 16
當 cosα = 1，cosβ = -1 時，有最大值 16