99中正預校

[八神庵]

如附檔請參考
想請教的是填2與計3

[thepiano]

填充第 2 題
n^3 ≡ n (mod 66)
n^3 - n ≡ 0 (mod 66)
(n - 1)n(n + 1) ≡ 0 (mod 66)

66 = 6 * 11

三個連續整數的乘積必為 6 之倍數，所以只要 n - 1，n，n + 1 三者中有 11 之倍數即符合題意

易知 n = 1，10，11，12，21，22，23，32，33，34，43，44，45，54，55，56，65


計算第 3 題
P(s，a - s^2/a)
過 P 之切線為：y - (a - s^2/a) = (-2s/a)(x - s)

Q((a^2 + s^2)/(2s)，0)，R(0，(a^2 + s^2)/a)

△OQR 之面積 = (a^2 + s^2)^2 / (4as)
微分知 s = a/√3 時，△OQR 之面積有最小值

[八神庵]

感謝皮大指導
http://math.pro/db/thread-990-1-1.html
裡面有一個一般化的題目
這個題目給我們的意函是,不管P在那裡,這兩個角度正切值相乘為固定數
我是選一個特例下去解,可以解出來
那如果要用一般化來推,該怎麼推導出來呢?

[thepiano]

作 EB 垂直 BP 於 B，FC 垂直 CP 於 C

BE/CP = AB/AC，CF/BP = CD/BD

tan∠APB * tan∠CPD = (BE/EP) * (CF/FP) = (BE/CP) * (CF/BP) = (AB/AC) * (CD/BD) = [a / (a + b)] * [c / (b + c)]

[thepiano]

下午有人問，結果剛看，不見了 ......
已經打好，順便 Post 一下

填充第 3 題
設 BC 中點為 D，BG = x，CG = y
易知 DG = 2

x^2 = 5^2 + 2^2 - 2 * 5 * 2 * cos∠BDG
x^2 = 5^2 + 2^2 - 2 * 5 * 2 * cos∠CDG = 5^2 + 2^2 + 2 * 5 * 2 * cos∠BDG
x^2 + y^2 = 58

10^2 = x^2 + y^2 - 2 * x * y * cos∠BGC
xy = 42 / √2

△ABC = 3△BGC = 3 * (1/2) * x * y * sin∠BGC = 63/2

[八神庵]

下午有人問，結果剛看，不見了 ......
已經打好，順便 Post 一下

填充第 3 題
設 BC 中點為 D，BG = x，CG = y
易知 DG = 2

x^2 = 5^2 + 2^2 - 2 * 5 * 2 * cos∠BDG
x^2 = 5^2 + 2^2 - 2 * 5 * 2 * cos∠CDG = 5^2 + 2^2 + 2 * 5 * 2 * cos∠BDG
x^2 + y^2 = 58

10^2 = x^2 + y^2 - 2 * x * y * cos∠BGC
xy = 42 / √2

△ABC = 3△BGC = 3 * (1/2) * x * y * sin∠BGC = 63/2

關於這一題
我提供一個考古題給各位作參考
雖然與這題不太一樣,但是觀念可以互通
"已知三中線長6,4,3,求此三角形面積"
提示,畫個圖,延長某一條中線使重心為此線段中點,就可以解題
也就可以利用這個觀念順便解一下皮大講解的這一題