1.三角形ABC,角A=48度,角B=72度,角C=60度,若正多邊形之頂點含有A,B,C三點,則此正多邊形之最小邊數為? 答案為15邊
2.設a,b,c為三角形ABC的三內角A,B,C所對應的邊長,則下列何者條件可以確定三角形ABC為鈍角三角形?(1)sinA * sinB > cosA * cosB (2)a,b,c皆小於 R (R為外接圓半徑) 答案為(2)
3.一半圓內四邊形ABCD,角BAD=120度,且BC=4為直徑,則AB+AD的最大值為多少? 答案為4
謝謝
請教三題數學題目(三角形)
版主: thepiano
Re: 請教三題數學題目(三角形)
第 1 題
把正多邊形的外接圓畫出來
每段邊所對的弧其度數為 360/n
所以 48，72，60 須為 180/n (度數為 360/n 之弧所對的圓周角度數) 之倍數
即 48n，72n，60n 須為 180 之倍數
質因數分解 ......
第 2 題
(1) cos(A + B) ＜ 0
π/2 ＜ A + B ＜ π
0 ＜ C ＜ π/2
只能確定 ∠C 是銳角
(2)
不失一般性，設 ∠A ≧ ∠B ≧ ∠C
3∠A ≧ ∠A + ∠B + ∠C = π
A ≧ π/3
又 a = sinA * 2R ＜ R
sinA ＜ 1/2
∠A ＞ (5/6)π
第 3 題
易知 ∠BCD = 60 度，∠BDC = 90 度
BD = 2√3
令 AB = x，AD = y
x^2 + y^2 - 2xycos120度 = (2√3)^2
x^2 + xy + y^2 = 12
求 x + y 之最大值
剩下的就簡單了 ......
把正多邊形的外接圓畫出來
每段邊所對的弧其度數為 360/n
所以 48，72，60 須為 180/n (度數為 360/n 之弧所對的圓周角度數) 之倍數
即 48n，72n，60n 須為 180 之倍數
質因數分解 ......
第 2 題
(1) cos(A + B) ＜ 0
π/2 ＜ A + B ＜ π
0 ＜ C ＜ π/2
只能確定 ∠C 是銳角
(2)
不失一般性，設 ∠A ≧ ∠B ≧ ∠C
3∠A ≧ ∠A + ∠B + ∠C = π
A ≧ π/3
又 a = sinA * 2R ＜ R
sinA ＜ 1/2
∠A ＞ (5/6)π
第 3 題
易知 ∠BCD = 60 度，∠BDC = 90 度
BD = 2√3
令 AB = x，AD = y
x^2 + y^2 - 2xycos120度 = (2√3)^2
x^2 + xy + y^2 = 12
求 x + y 之最大值
剩下的就簡單了 ......
Re: 請教三題數學題目(三角形)
感謝thepiano老師的解釋,另外,第三題我也有想到這,可是,接下來我用算幾不等式得到的卻是xy<=4,若是用科西去算,就卡住啦,可否麻煩thepiano老師再解釋,謝謝
Re: 請教三題數學題目(三角形)
令 x + y = k
x^2 + x(k - x) + (k - x)^2 = 12
展開後，當成 x 之一元二次方程式，再利用判別式 ≧ 0 即可
x^2 + x(k - x) + (k - x)^2 = 12
展開後，當成 x 之一元二次方程式，再利用判別式 ≧ 0 即可