請教組合幾何和函數

[8y383249]

1.甲乙丙丁進行比賽,若同分則名次相同,則有多少種不同排名
2.凸四邊形四邊長分別為a,b,c,d,對角線所夾銳角45度,以a,b,c,d表四邊形面積
3.找出所有正整數m,n 使得(m+n)^m=n^m+1413
4.求所有函數f(x),對任意實數x(|x|不等於1),滿足f[(x-3)/(x+1)]+f[(3+x)/(1-x)]=x

謝謝各位老師

[thepiano]

第 1 題
(1) 四同：1 種
(2) 三同一異：C(4，3) * 2 = 8 種
(3) 二同二同：C(4，2) = 6 種
(4) 二同二異：C(4，2) * 3! = 36 種
(5) 四異：4! = 24 種
共 75 種


第 2 題
令 AB = a，BC = b，CD = c，DA = d，對角線交點 O，∠AOB = 45 度
再令 OA = x，OB = y，OC = z，OD = t

a^2 = x^2 + y^2 - √2 xy
b^2 = y^2 + z^2 + √2 yz
c^2 = z^2 + t^2 - √2 zt
d^2 = t^2 + x^2 + √2 tx

ABCD = (1/2) * (√2 / 2) * (xy + yz + zt + tx) = (b^2 + d^2 - a^2 - c^2) / 4


第 3 題
m^m ＜ (m + n)^m ＜ 1413
m ＜ 5

若 m 為偶數，n 為偶數
(m + n)^m 為偶數，n^m + 1413 為奇數，不合

若 m 為偶數，n 為奇數
(m + n)^m 為奇數，n^m + 1413 為偶數，不合

m = 1，亦不合

故 m = 3，n = 11


第 4 題
f[(x - 3) / (x + 1)] + f[(3 + x) / (1 - x)] = x ...... (1)

(1) 中的 x 用 (x - 3) / (x + 1) 代入，得
f[(3 + x) / (1 - x)] + f(x) = (x - 3) / (x + 1) ...... (2)

(1) 中的 x 用 (3 + x) / (1 - x) 代入，得
f(x) + f[(x - 3) / (x + 1)] = (3 + x) / (1 - x) ...... (3)

三式相加化簡後，可得 f(x) = (x^3 + 7x) / (2 - 2x^2)