請教8題

[8y383249]

1.ABCD 是四邊形，其中 BC=CD=DA=1 、∠DAB = 135°、∠ABC = 75°。則AB =？
2.a_n=[1×3×5×…×(2n-1)]/(2×4×6×…×2n)，試求lim_(n->無限大)a_n=?
3. x為實數，kcos^2x-kcosx+1>=0恆成立，求 k 的範圍
4.已知 cosa+cosb+cosc=0,試證明cos3a+cos3b+cos3c=12cosacosbcosc 。
5. 已知H為三角形ABC的垂心，由H分別作HD垂直BC，HE垂直AC，HF垂直AB，試証：HD:HE:HF=secA:secB:secC
6. 我們定義 n!=n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1，試問使得n!的最後90位數字全是0的最小正整數 是多少？(例如 5!最後只有1位數字是0)
7. 若a = 122333444455555666666777777788888888999999999 ，試求 a^3/11的餘數為?(4)
8. ABCDEF為邊長皆相等的六邊形，其中點A、C、E落在以O為圓心，半徑為3的圓上；點B、D、F落在以O為圓心，半徑為1的圓上。試求此六邊形ABCDEF的周長為?(6√7)
謝謝
感謝鋼琴兄解答
第1題為98和美實驗學校,2~4題為97文華高中,5~6題為97潮州高中,7~8題95彰化女中

[thepiano]

考古題建議寫上年度及學校

第 2 題
http://forum.nta.org.tw/examservice/sho ... hp?t=47781


第 3 題
k(cosx)^2 - kcosx + 1 ≧ 0
cosx - (cosx)^2 ＞ 0，k ≦ 1/[cosx - (cosx)^2]
cosx - (cosx)^2 ＜ 0，k ≧ 1/[cosx - (cosx)^2]

f(x) = cosx - (cosx)^2
f'(x) = 2cosxsinx - sinx = sinx(2cosx - 1)

cosx = 1/2 時，f(x) 有極大值 1/4
sinx = 0，cosx = -1 時，f(x) 有極小值 -2

-1/2 ≦ k ≦ 4


第 5 題
HC = HD / sin∠HCD = HE / sin∠HCE
HD / cosB = HE / cosA
HD：HE = secA：secB

同理 HD / cosC = HF / cosA
HD：HF = secA：secC

HD：HE：HF = secA：secB：secC


第 7 題
11 的倍數：奇數位數字和 = 偶數位數字和
從 122333444455555666666777777788888888999999999 中刪去紅色重複的數字
可知 a ≡ (1 + 5 + 9) - (3 + 7) ≡ 5 (mod 11)
a^3 ≡ 5^3 ≡ 4 (mod 11)


第 8 題
ABCDEF 是一個似三角飛鏢的凹六邊形
OA = 3，OB = 1，∠AOB = 60 度
用餘弦定理可求出 AB = √7
所求 = 6√7

[ellipse]

#4 令x=cos(a),y=cos(b),z=cos(c)
原式=4x^3-3x+4y^3-3y+4z^3-3z
=4(x^3+y^3+z^3)-3(x+y+z)
=4(x^3+y^3+z^3) (因為x+y+z=0)
=4[(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz]
=4[0*(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz]
=12xyz=12cos(a)*cos(b)*cos(c)

[thepiano]

第 1 題
viewtopic.php?f=53&t=463


第 6 題
[n/5] + [n/25] + [n/125] + ..... = 90
n = 350 時，[n/5] + [n/25] + [n/125] = 86
355，360，365，370
故所求為 370

[ellipse]

#1 三角形ACD為正三角形好像不是那麼明顯
可能需要用到正弦定理證出來

[thepiano]

(1) 若 AC ＞ 1
令 ∠DAC = ∠DCA = x∘，∠ADC = (180 - 2x)∘
AC ＞ AD
180 - 2x ＞ x
x ＜ 60

∠BAC = (135 - x)∘，∠ABC = 75∘
AC ＞ BC
75 ＞ 135 - x
x ＞ 60

矛盾 ......

(2) 若 AC ＜ 1，同上法，亦矛盾

故 AC = 1

[8y383249]

感謝鋼琴兄和ellipse兄的解析

請問鋼琴兄,"似三角飛鏢"的圖形是如我所附件的嗎? 可是覺得怪怪的,
還希望鋼琴兄能指點,謝謝

[thepiano]

以下連結有圖形可參考
viewtopic.php?f=53&t=398

[ellipse]

(1) 若 AC ＞ 1
令 ∠DAC = ∠DCA = x∘，∠ADC = (180 - 2x)∘
AC ＞ AD
180 - 2x ＞ x
x ＜ 60

∠BAC = (135 - x)∘，∠ABC = 75∘
AC ＞ BC
75 ＞ 135 - x
x ＞ 60

矛盾 ......

(2) 若 AC ＜ 1，同上法，亦矛盾

故 AC = 1

鋼琴兄有如此犀利的判斷力
任何難題在你手上處理後就顯得非常容易了!