請教96年數學競賽試題2題

[hugo]

如附件，請教題目的想法，謝謝。

[thepiano]

第 1 題
k = 2 時，f(x) = g(x)
y = f(x) 和 y = g(x) 重合，符合題目中的"至少有一個交點"此條件
所以答案是 k = 2

另一可能是題目出錯了 ......


第 2 題
總答對題數是 288
通過人數最多時，這 288 題全是由答對 3 題的人包辦
故 y = 288 / 3 = 96

通過人數最少時
設全對的有 p 人，答對 3 題的有 q 人，答對 2 題的有 r 人，答對 1 題的有 s 人，全錯的有 k 人
0 ≦p , q , r , s , k ≦ 100
4p + 3q + 2r + s = 288 ...... (1)
p + q + r + s + k = 100 ...... (2)

(1) - (2)
3p + 2q + r - k = 188
p + q = [188 - (r - q - k)] / 3

由於 r - q - k ≦ 100，而 p + q 為整數
r - q - k = 98，95，92，89，86，......
p + q = 30，31，32，33，34，......

又上二式相加的 p + r - k 也要 ≦ 100
易知 p + r - k = 100 時，p + q 有最小值為 44，r - q - k = 56
即 p = 44，q = 0，r = 56，s = 0，k = 0
故 x = 44