99高雄高中

[thepiano]

第 8-乙 題
假設跳 n 次回到 A 點的跳法數是 a_n
則
a_2 = 5

a_3 = 5 * 4

a_4 分成 (第 2 次跳回 A) 和 (直到第 4 次才跳回 A)
a_4 = (a_2 * a_2) + (5 * 4 * 4) = (a_2)^2 + 5 * 4^2

a_5 分成 (第 2 次跳回 A)，(第 3 次跳回 A) 和 (直到第 5 次才跳回 A)
a_5 = (a_2 * a_3) + (a_3 * a_2) + (5 * 4^3)

a_6 分成 (第 2 次跳回 A)，(第 3 次跳回 A)，(第 2 次沒跳回 A，第 4 次跳回 A) 和 (直到第 5 次才跳回 A)
a_6 = (a_2 * a_4) + (a_3 * a_3) + (5 * 4^2 * a_2) + 5 * 4^4

......

a_n 有沒有通式就不知道囉！


第 9 題
先求 AD * AE 之最小值
令 AD = x，AE = y

△ABC 之內切圓半徑為 √15 / 6
sinA = (3/16)√15

△ADE 之面積 = (1/2) * xy * (3/16)√15 = (1/2)(x + y) * (√15 / 6)
y = 8x / (9x - 8)
xy = 8x^2 / (9x - 8) 之最小值為 256/81

所求 = (256/81) / (2 * 4) = 32/81


第 12 題
先考慮內接於一半徑為 r 的 "球" 之長方體最大體積
設長 x，寬 y，高 z
易知 [√(x^2 + y^2)]^2 + z^2 = (2r)^2
即 x^2 + y^2 + z^2 = 4r^2

再用算幾不等式，可知 x = y = z = (2√3 / 3)r 時，xyz 有最大值 (8√3 / 9)r^3

回到原題 a = h = (2√3 / 3)R，b = (√3 / 3)R 時，溢出的水最多是 (4√3 / 9)r^3

[8y383249]

請問thepiano老師,您的第12題解答的 h沒有大於R,原題h>R,另外,想請教第11題如何證明,第4題答案是否為甲乙丙戊,有冒犯之處,還請海量,謝謝

[thepiano]

第 11 題
viewtopic.php?f=53&t=2459

第 12 題
轉換如紅字部份就好了

另外第 4 題，小弟看不懂題目在說什麼，sorry！