請教99北市幾題

[openmei]

第69題
分成兩個△ABD和△ACD來看
a^2=b^2+c^2-bc(令BC=a，則BD=(1/3)a，DC=(2/3)a)

由△ABD可得：c^2=(1/9)a^2+AD^2-(2/3)a*ADcosΘ (令∠ADB為Θ)..........(1)
同理，b^2=(4/9)a^2+AD^2+(4/3)a*ADcosΘ ...........(2)
(1)(2)解聯立即可得：AD^2=(1/9)(b^2+2bc+4c^2)

想請教55題，有人會嗎?
感謝

[thepiano]

第 55 題
令 a = 2010
原求值式^2 = a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 = (a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) + 1 = (a^2 + 3a)^2 + 2(a^2 + 3a) + 1 = (a^2 + 3a + 1)^2
原求值式 = a^2 + 3a + 1 = a(a + 3) + 1

[betty625]

請問Q59 Q64如何解

[thepiano]

第 59 題
令 BC = DE = 2
作 BM 垂直 AD 於 M， CN 垂直 AD 於 N
易知 BM = CN = AM = DN = √2，AD = 2 + 2√2
ABCD = △ADE = 2 + 2√2
a = 4b
這題好像是最近某一年學測或指考的題目，有在報紙上看過 ......


第 64 題
直線 AB 之斜率 = 直線 CD 之斜率 = -5
直線 AD 之斜率 = 直線 BC 之斜率 = 4
ABCD 是平行四邊形，過對角線交點 (5，-3) 的直線可將 ABCD 平分

[Superconan]

第 41 題
2^2 ≡ 4 (mod 6)
3^2 ≡ 3 (mod 6)

其餘的質數均可表為 6k + 1 或 6k - 1
(6k + 1)^2 ≡ (6k - 1)^2 ≡ 1 (mod 6)

第 50 題
易證出 △AFD 和 △BDE 和 △CEF 全等
AD = CF = 5，AF = BD = 2
△ADF / △ABC = (AD * AF) / (AB * AC) = 10 / 49
△DEF / △ABC = (△ABC - 3△ADF) / △ABC = 19 / 49

請問下面兩件事是怎麼知道的？

1. 其餘的質數均可表為 6k + 1 或 6k - 1
2. 易證出 △AFD 和 △BDE 和 △CEF 全等

謝謝！！

[thepiano]

1.
所有的整數均可表為以下 6 種
6k：6 的倍數
6k + 1
6k + 2：2 的倍數
6k + 3：3 的倍數
6k + 4：2 的倍數
6k + 5
故質數除了 2 和 3 之外均可表為 6k + 1 或 6k + 5
但可表為 6k + 1 或 6k + 5 的數不一定是質數就是了


2.
在 △AFD 和 △BDE 中
FD = DE
∠A = ∠B
∠AFD + ∠ADF = 120 度 = ∠BDE + ∠ADF
∠AFD = ∠BDE
故 △AFD 和 △BDE 全等

同理 △BDE 和 △CEF 全等

[Superconan]

謝謝鋼琴老師，我懂了！