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100年板橋高中數學考題
版主: thepiano
100年板橋高中數學考題
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Re: 100年板橋高中數學考題
大概只有第 1 題和第 3 題比較"正常" ...... 
第 1 題
(1) 題目最後應是 ...... + C(2011，2009) - C(2011，2011)
用二項式定理展開 (1 + i)^2011
而 (1 + i)^2011 = 2^(2011/2) * [cos(nπ/4) + isin(nπ/4)
以上二式，其虛部相等
C(2011，1) - C(2011，3) + C(2011，5) - C(2011，7) + ...... + C(2011，2009) - C(2011，2011)
= 2^(2011/2) * sin(2011π/4)
= 2^1005
(2) 去年萬芳高中考過 http://math.pro/db/viewthread.php?tid=969
第 3 題
證明正整數數很簡單，用二項式定理展開即可
第 1 題
(1) 題目最後應是 ...... + C(2011，2009) - C(2011，2011)
用二項式定理展開 (1 + i)^2011
而 (1 + i)^2011 = 2^(2011/2) * [cos(nπ/4) + isin(nπ/4)
以上二式，其虛部相等
C(2011，1) - C(2011，3) + C(2011，5) - C(2011，7) + ...... + C(2011，2009) - C(2011，2011)
= 2^(2011/2) * sin(2011π/4)
= 2^1005
(2) 去年萬芳高中考過 http://math.pro/db/viewthread.php?tid=969
第 3 題
證明正整數數很簡單，用二項式定理展開即可
最後由 thepiano 於 2011年 6月 4日, 23:06 編輯，總共編輯了 2 次。
Re: 100年板橋高中數學考題
第三題應該是證2的倍數吧
第9題~~4小題共9分~~~
還有問芬蘭的教育理念~~~=.=
第9題~~4小題共9分~~~
還有問芬蘭的教育理念~~~=.=
Re: 100年板橋高中數學考題
第三題是2^n無誤。
敝人的作法是用數學歸納法，
假設(3+√5)^n + (3-√5)^n = α_n．2^n,α_n∈N
當n=1時成立，
設n<k，∀k>=2時皆成立，
則(3+√5)^(k-1) + (3-√5)^(k-1) = α_(k-1)．2^(k-1)
∴(3+√5)^(k-1) = α_(k-1)．2^(k-1) - (3-√5)^(k-1)
(3+√5)^k = α_(k-1)．2^(k-1)．(3+√5) - (3-√5)^(k-2)．4
同理，
(3-√5)^k = α_(k-1)．2^(k-1)．(3-√5) - (3+√5)^(k-2)．4
所以
(3+√5)^k + (3-√5)^k = α_(k-1)．2^(k-1)．6 - 4．[ (3+√5)^(k-2) + (3-√5)^(k-2) ]
= α_(k-1)．2^k．3 - 4[ α_(k-2)．2^(k-2) ]
= α_(k-1)．2^k．3 - α_(k-2)．2^k = α_k．2^k
由歸納法假設得證。
不知道這樣對不對？
第六題好像沒有說可以重覆欸…可能敝人記錯了…
第七題有個條件是abc三者不必全相異。
敝人的作法是用數學歸納法，
假設(3+√5)^n + (3-√5)^n = α_n．2^n,α_n∈N
當n=1時成立，
設n<k，∀k>=2時皆成立，
則(3+√5)^(k-1) + (3-√5)^(k-1) = α_(k-1)．2^(k-1)
∴(3+√5)^(k-1) = α_(k-1)．2^(k-1) - (3-√5)^(k-1)
(3+√5)^k = α_(k-1)．2^(k-1)．(3+√5) - (3-√5)^(k-2)．4
同理，
(3-√5)^k = α_(k-1)．2^(k-1)．(3-√5) - (3+√5)^(k-2)．4
所以
(3+√5)^k + (3-√5)^k = α_(k-1)．2^(k-1)．6 - 4．[ (3+√5)^(k-2) + (3-√5)^(k-2) ]
= α_(k-1)．2^k．3 - 4[ α_(k-2)．2^(k-2) ]
= α_(k-1)．2^k．3 - α_(k-2)．2^k = α_k．2^k
由歸納法假設得證。
不知道這樣對不對？
第六題好像沒有說可以重覆欸…可能敝人記錯了…
第七題有個條件是abc三者不必全相異。
Re: 100年板橋高中數學考題
第 10 題
定坐標
A'(2，√18，0)，B'(0，0，0)，C'(2，0，0)
A(2，√18，2)，B(0，0，2)，C(2，0，2)
令 P(2t，0，2 - 2t)
PC + PA' = √[(2t - 2)^2 + (-2t)^2] + √[(2t - 2)^2 + 18 + (2 - 2t)^2] = √[(2t - 2)^2 + (2t)^2] + √[(2t + 1)^2 + (2t - 5)^2]
看成 y = x 上一點 Q(2t，2t) 到 M(2，0) 和 N(-1，5) 之距離和
其最小值為 MN = √34
定坐標
A'(2，√18，0)，B'(0，0，0)，C'(2，0，0)
A(2，√18，2)，B(0，0，2)，C(2，0，2)
令 P(2t，0，2 - 2t)
PC + PA' = √[(2t - 2)^2 + (-2t)^2] + √[(2t - 2)^2 + 18 + (2 - 2t)^2] = √[(2t - 2)^2 + (2t)^2] + √[(2t + 1)^2 + (2t - 5)^2]
看成 y = x 上一點 Q(2t，2t) 到 M(2，0) 和 N(-1，5) 之距離和
其最小值為 MN = √34
Re: 100年板橋高中數學考題
請問第一題的第一小題答案怎麼算出1000?
請問第五題 這段文字
則 E 離地平面 (10 + 12) / 2 = 11，跟 C 同一高度
是怎麼研判的呢
把ABCD看作一個四面體
而CE可視為面BCD的對稱軸 平行地面(因為另兩個頂點距離剛好為10,12) 這樣嗎
謝謝大大指點
另外想請問第八題 謝謝
請問第五題 這段文字
則 E 離地平面 (10 + 12) / 2 = 11，跟 C 同一高度
是怎麼研判的呢
把ABCD看作一個四面體
而CE可視為面BCD的對稱軸 平行地面(因為另兩個頂點距離剛好為10,12) 這樣嗎
謝謝大大指點
另外想請問第八題 謝謝
最後由 Joe 於 2011年 6月 4日, 23:33 編輯，總共編輯了 1 次。
Re: 100年板橋高中數學考題
小弟打錯了，是 2^1005Joe 寫:請問第一題的第一小題答案怎麼算出1000?
老是把 2011 看成 2001，前面的 2 也漏看，唉！
年紀大囉！B 在地平面的垂足為 P，E 在地平面的垂足為 Q，D 在地平面的垂足為 RJoe 寫: 則 E 離地平面 (10 + 12) / 2 = 11，跟 C 同一高度
是怎麼研判的呢
則 ER 是梯形 BPRD 之中線
不過這題的答案跟 PTT 不同，應該是小弟算錯了，可是卻不知錯在哪？
有看出來的請指正一下，謝謝！
聽說是由內心向三邊作垂線，這三條就是要切開的地方Joe 寫: 另外 手邊沒有徐式第六冊...很不好意思的想請問第八題
Re: 100年板橋高中數學考題
第八題外心到三頂點連線亦可。
不過敝人是分類討論欸…
因為它有要求最少刀數，
所以分為：
Ⅰ．等腰三角形：0刀。
Ⅱ．非等腰之直角三角形：1刀
斜邊中點到直角的連線，即外接圓半徑。
Ⅲ．非等腰且非直角但有一角為45°：2刀
先作一高，分為兩直角三角形，其中一個即為等腰直角三角形，可翻；
再將另一直角三角形如Ⅱ般切為兩片即可上桌(誤)
Ⅳ．其他：3刀
一樣先作一高，再將兩個直角三角形各切一刀。
不過敝人是分類討論欸…
因為它有要求最少刀數，
所以分為：
Ⅰ．等腰三角形：0刀。
Ⅱ．非等腰之直角三角形：1刀
斜邊中點到直角的連線，即外接圓半徑。
Ⅲ．非等腰且非直角但有一角為45°：2刀
先作一高，分為兩直角三角形，其中一個即為等腰直角三角形，可翻；
再將另一直角三角形如Ⅱ般切為兩片即可上桌(誤)
Ⅳ．其他：3刀
一樣先作一高，再將兩個直角三角形各切一刀。