100年北市陽明高中數學考題

[math614]

剛考完頭好暈，但沒吃飯也要把題目趕快記下來!
我已經盡力回想了，不過還是忘了一題填充題~
提供給大家參考哦~
高手快來解題吧!

[ellipse]

剛考完頭好暈，但沒吃飯也要把題目趕快記下來!
我已經盡力回想了，不過還是忘了一題填充題~
提供給大家參考哦~
高手快來解題吧!

#1
x^2+ (1/5)y^2 >= 2[(1/5)x^2*y^2]^0.5 = (2/5^0.5)xy------------------(1)
(4/5)y^2+z^2 >= 2[ (4/5)y^2*z^2]^0.5 =(4/5^0.5)yz------------------(2)
(1)+(2)得
x^2+y^2+z^2>= (2/5^0.5)(xy+2yz)
所以 (xy+2yz)/(x^2+y^2+z^2)<= 5^0.5/2
最大值為5^0.5/2

[thepiano]

證明第 3 題
設優秀 x 人，不及格 y 人，其餘 z 人，優秀的人共答對 (6x + p) 題，不及格的人共答對 (3y - q) 題，其餘的人共答對 (4z + r) 題
x，y，z，p，q，r 是非負整數
x + y + z = n
q ≦ 3y

6x + p + 3y - q + 4z + r = 3n + 1
3(x + y + z) + 3x - q + z + p + r = 3n + 1
3x - q + z + p + r = 1
3(x - y) + z + p + r ≦ 3x - q + z + p + r = 1
x - y ≦ (1 - z - p - r) / 3 ≦ 1/3
x，y 是非負整數
x - y ≦ 0
x ≦ y

有可能 x = y
即優秀 x 人，不及格 x 人，其餘 1 人，優秀的人每個都答對 6 題，不及格的人全答錯，其餘的那人答對 4 題

[thepiano]

證明第 2 題
用數學歸納法，請參考附件

[thankquestion]

請問2、6題如何下手

謝謝~

[ellipse]

請問2、6題如何下手

謝謝~

#2
y^2= (sinx)^2 /(5+4cosx)
=[1-(cosx)^2]/(5+4cosx) ( 令t=cosx)
=(1-t^2)/(4t+5) -----------(*)
令f(t)=(1-t^2)/(4t+5)
f '(t) = [(4t+5)*(-2t) -(-t^2+1)*4] / (4t+5)^2
= (-4t^2-10t-4) / (4t+5)^2
=-2(2t+1)(t+2) / (4t+5)^2
當t= -1/2 有極大值 (t=-2不合)
所以y^2=f(t)<=f(-1/2)=1/4
-1/2 <= y <= 1/2
又將t=1, -1(端點值) 代入(*)得 y^2=0 ,y=0
所以可以確定 -1/2 <= y<= 1/2

[thepiano]

剛看錯題號，把第 6 題看成第 4 題，就順便 Post 了 ......

第 4 題
令圓心 O，∠APO = θ，PA = PB = √x
cosθ = √x / √(x + 4)
cos2θ = (x - 4) / (x + 4)

向量 PA * 向量 PB = √x * √x * [(x - 4) / (x + 4)] = (x^2 - 4x) / (x + 4)
易求出其最小值為 -12 + 8√2


第 6 題
f(-1) = -2k
f(2) = 3 - 2k
f(-1) ＜ f(2)

(1) k ＞ 0
f(-1)，f(2) 及 f(x) 之最大值，這三者之中，f(-1) 一定是最小的
故 f(-1) = -2k = -4
k = 2

(2) k ＜ 0
f(-1)，f(2) 及 f(x) 之最小值，這三者之中，f(2) 一定是最大的
故 f(2) = 3 - 2k = 17/8
k = 7/16 (不合)

[thankquestion]

謝謝thepiano和ellipse老師~

[johncai]

填充剩的最後一題應該是
有一拋物線y^2=4x，直線AC過焦點且交拋物線於A及C，直線BD過焦點且交拋物線於B及D，
且直線AC與直線BD垂直，求ABCD面積之最小值。
不知道有沒有記錯
這張考卷看完填充題後，我發現拋物線考超多@
然後很多題目都問極值或範圍@

另外我想問3，7題，謝謝!

[ellipse]

填充剩的最後一題應該是
有一拋物線y^2=4x，直線AC過焦點且交拋物線於A及C，直線BD過焦點且交拋物線於B及D，
且直線AC與直線BD垂直，求ABCD面積之最小值。
不知道有沒有記錯
這張考卷看完填充題後，我發現拋物線考超多@
然後很多題目都問極值或範圍@

另外我想問3，7題，謝謝!

#3
Log_4 (x+2y) +Log_4 (x-2y) =Log_4 (4)
Log_4 (x^2-4y^2) = Log_4 (4)
x^2-4y^2=4
x^2/4 -y^2 =1 (為一雙曲線)------------(*)
又求|x| - |y| 的最小值
可考慮第一象限 |x|-|y|= x-y (令k)
(其它在三個象限的圖形可對x軸,y軸做鏡射得出)
令x-y=k ,當x-y=k(y=x-k)與(*)相切於一點 ,k有最小值
且切線斜率=1
由雙曲線切線公式得y=x-(4*1-1)^0.5=x-3^0.5
比較常數項,可得k=3^0.5有最小值