100 中正高中 (只有 4 題)

[thepiano]

PTT 上的題目

1. 平面上，有一點至正三角形三頂點之距離為 1、2、3，求此三角形面積

2. 有一直角三角形，以斜邊為軸旋轉一圈，得一個立體圖形，其表面積為 S_1，此直角三角形的內切圓面積為 S_2，求 S_1 / S_2 之最小值

3. x^2 + (y - 1)^2 = 1，求 (x + y + 1) / (x - y + 3) 之最小值

4. 擲一骰子四次，四次點數分別為 x、y、z、w，在 (x - y)(y - z)(z - w)(w - x) = 0 的條件下，求恰好出現兩種點數的機率

參考答案如下：
1. (7/4)√3
2. 8 + 6√2
3. 2 - √3
4. 10/37

第 1，3，4 題，PTT 數學板已有很漂亮的想法或做法，標題是 [中學] 100中正高中教師甄選試題

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第 2 題
請參考附件


第 4 題另解
用塗 "田" 字形的想法來做

用 6 色塗 "田" 字形的 4 個空格，若相鄰格子不同色，有 (6 * 5 * 4 * 3) + 2 * (6 * 5 * 4) + 6 * 5 = 630 種塗法
這相當於 (x - y)(y - z)(z - w)(w - x) ≠ 0

故 (x - y)(y - z)(z - w)(w - x) = 0 的樣本數 = 6^4 - 630 = 666

恰好出現兩種點數的塗法如下圖
方法數 = 6 * 5 * 2 + 6 * 5 * 4 = 180

所求 = 180 / 666 = 10/37

[ellipse]

第ㄧ題題目的數據是否有誤?

[thepiano]

第ㄧ題題目的數據是否有誤?

那一點在正三角形外，用旋轉來解題

[ellipse]

第ㄧ題題目的數據是否有誤?

那一點在正三角形外，用旋轉來解題

原來在外面,剛剛做了一下,比之前考得數據還容易處理
真是特別的數據...

[thepiano]

官方已公布試題，請參考附件

填充第 4 題
找那一串數裡有幾個 5 的倍數

5 * 2 ≡ 2 * 2 ≡ 1 (mod 3)
5 * 5 ≡ 2 * 2 ≡ 1 (mod 3)
5 * 8 ≡ 2 * 2 ≡ 1 (mod 3)
:
:
5 * 401 ≡ 2 * 2 ≡ 1 (mod 3)

401 = 2 + (p - 1) * 3
p = 134
那一串數裡有 134 個 5 的倍數


25 ≡ 1 (mod 3)
25 * 4 ≡ 1 * 1 ≡ 1 (mod 3)
25 * 7 ≡ 1 * 1 ≡ 1 (mod 3)
:
:
25 * 79 ≡ 1 * 1 ≡ 1 (mod 3)

79 = 1 + (q - 1) * 3
q = 27
那一串數裡有 27 個 25 的倍數


125 * 2 ≡ 2 * 2 ≡ 1 (mod 3)
125 * 5 ≡ 2 * 2 ≡ 1 (mod 3)
:
:
125 * 14 ≡ 2 * 2 ≡ 1 (mod 3)

14 = 2 + (r - 1) * 3
r = 5
那一串數裡有 5 個 125 的倍數


625 ≡ 1 (mod 3)
那一串數裡有 1 個 625 的倍數


所求 = 134 + 27 + 5 + 1 = 167


第 8 題
這題是填充，用特例去做最快

AB = AC，DE 平行 BC
△ADE / △ABC = 2 / 5
∠AEB = 90 度
cosA = AE / AB = AD / AB = √2 / √5 = √10 / 5



以下是計算題的做法

令 AE = 1，AD = x，AB = y

由圓外冪性質
AE * AC = AD * AB
AC = xy

△ADE / △ABC = (AD * AE) / (AB * AC) = x / (xy^2) = 2/5
y = √(5/2)

cosA = 1 / √(5/2) = √10 / 5

[M9331707]

填充第8題
△ADE / △ABC = (AD * AE) / (AB * AC) = (cos)^2 = 2/5

[thepiano]

填充第8題
△ADE / △ABC = (AD * AE) / (AB * AC) = (cosA)^2 = 2/5

帥喲！一行秒殺

[thankquestion]

請問填充5..謝謝

[thepiano]

填充第 5 題
定坐標比較好做
B(0，0，0)，E(1/2，0，0)，A(1/2，√3/2，0)，O(1/2，√3/6，√6/3)，D(1/2，(7/18)√3，√6/9)

OD = (2/3)OA = 2/3，OE = √3/2，DE = √19/6

令 DF = x，FE = √19/6 - x
利用 OF^2 = OE^2 - FE^2 = OD^2 - DF^2
可求出 x = (2/57)√19

所求 = (2/57) / (1/6 - 2/57) = 4/15

[thankquestion]

謝謝 thepiano老師~