97第二次師大附中第8.9.10題

[ruby0519]

如題
謝謝老師

[thepiano]

第 8 題
設平面上的 n 條直線最多將平面分割成 a_n 個有界區域
易知 a_3 = 1
a_4 = a_3 + 2
:
:
a_n = a_(n - 1) + (n - 2)

上面的式子相加，左右對消，可得
a_n = 1 + 2 + ...... + (n - 2)


第 9 題
m^2 ＜ m^2 + m + 7 ＜ (m + 3)^2

m^2 + m + 7 = (m + 1)^2
m = 6

m^2 + m + 7 = (m + 2)^2
m = 1


第 10 題
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

(1)
a + b = 大於 1 的奇數
a - b = 1
如此 a 和 b 均為正整數
故 3，5，......，97 均符合

(2)
a + b = 正偶數 m
a - b = 小於 m 之正偶數
如此 a 和 b 均為正整數
故 8，12，16，......，96 均符合