101 建國中學(二)

[thepiano]

題目請到 Math.Pro 下載
http://math.pro/db/thread-1457-1-1.html

做一下最後一題
請參考附件

[marsden]

想請問計算題1(2)，及計算題2，謝謝！

[thepiano]

計算第 1 題 (2)
b ≦ cosθ + √3sinθ
(b - cosθ)/sinθ ≦ √3
CH/BH ≦ √3
cotC ≦ √3
∠C ≧ 30 度
△ABC 之外接圓半徑 OA = AB/(2sinC) ≦ 1

以 A 為圓心，半徑為 1 的圓能覆蓋 ADOF
以 B 為圓心，半徑為 1 的圓能覆蓋 BEOD
以 C 為圓心，半徑為 1 的圓能覆蓋 CFOE

故分別以 A、B、C 為圓心，半徑為 1 的 3 個圓能覆蓋 △ABC

[marsden]

謝謝，可否再請教填充1

[thepiano]

計算第 2 題
此充分必要條件為 AB 和 CD 垂直，BC 和 AD 垂直、AC 和 BD 垂直

證明：若直線 AH_a、直線 BH_b、直線 CH_c、直線 DH_d 交於一點，則 AB 和 CD 垂直，BC 和 AD 垂直、AC 和 BD 垂直
利用三垂線定理

證明：若 AB 和 CD 垂直，BC 和 AD 垂直、AC 和 BD 垂直，則直線 AH_a、直線 BH_b、直線 CH_c、直線 DH_d 交於一點
定坐標 A(0，0，c)，B(0，0，0)，C(a，0，0)，D(0，b，0)，交點為 B

[thepiano]

填充第 1 題
作 DH 垂直平面 ABC 於 H，作 DE 垂直 AB 於 E，作 DF 垂直 AC 於 F
AE/AD = AF/AD = cos∠BAD
AE = AF = (3/2)√2

易知 DH = 球 S_2 之直徑 = 2

由於 球 S_1 和 球 S_2 內切於 D，故球 S_1 之球心在 DH 上
AD = BD = CD
AB = 2AE = 2AF = AC = 3√2
△ABC 面積 = (1/2) * AB * AC * sin∠BAC = 27/5

所求 = (1/3) * (27/5) * 2 = 18/5

[marsden]

謝謝！鋼琴大！太強了！

[marsden]

計算第 2 題
此充分必要條件為 AB 和 CD 垂直，BC 和 AD 垂直、AC 和 BD 垂直

證明：若直線 AH_a、直線 BH_b、直線 CH_c、直線 DH_d 交於一點，則 AB 和 CD 垂直，BC 和 AD 垂直、AC 和 BD 垂直
利用三垂線定理

證明：若 AB 和 CD 垂直，BC 和 AD 垂直、AC 和 BD 垂直，則直線 AH_a、直線 BH_b、直線 CH_c、直線 DH_d 交於一點
定坐標 A(0，0，c)，B(0，0，0)，C(a，0，0)，D(0，b，0)，交點為 B

請問為何可以這假設，這樣三角形ABC中B為直角？？？

[thepiano]

四面體的三組對邊若兩兩互相垂直，有人稱為"對直四面體"

其型體就是小弟定坐標的那樣

[marsden]

四面體的三組對邊若兩兩互相垂直，有人稱為"對直四面體"

其型體就是小弟定坐標的那樣

sorry！我手邊拿了一個正四面體也無法想出來，可以再說明清楚嗎？