101 中區國小

[thepiano]

第 29 題
答案應是 (4)


第 43 題
條件不足，四個選項的答案均可

[thepiano]

第 50 題
r 沒有給範圍
取 a = 6，b = q = 1，r = 5
這樣的話，四個選項都對

[math2012]

請教鋼琴老師幾題~~
第01題：算出來a=1或3/4後，你怎麼知道3/4不合呢？一定要浪費時間代入檢查嗎？還是有更快的判斷方式？
第11題
第13題：是從哪裡看出三角形OPD是正三角形呢？
第14題
第15題
第16題
第17題
第18題：平面的垂心我會解，但空間的垂心就太複雜了，有沒有速解法呢？
第21題
第25題
第29題
第36題
第37題：可否講解一下負數根號的乘除法有哪些規則
第45題：m1m3=-1為什麼不對呢？
第50題：可否揣測一下出題叫獸到底要考什麼？「被除數和除數的最大公因數=除數和餘數的最大公因數」？有這條規則嗎？

[armopen]

第18題：平面的垂心我會解，但空間的垂心就太複雜了，有沒有速解法呢？

提示一下解題的重點，可以用向量來解，不過也要解聯立方程式，用到內積的觀念

可以用空間中三個平面的交點來解，也就是E1：以 BC 向量為法向量，通過 A 的平面
E2：以 AC 向量為法向量，通過 B 的平面，E3：過 A, B, C 三點的平面

第37題：可否講解一下負數根號的乘除法有哪些規則

設 a, b 為實數, 則
只有當 a < 0, b < 0 時 √a *√b = - √(ab), 其餘情況 √a * √b = √(ab)
只有當 a > 0, b < 0 時 √a/√b = - √a/√b, 其餘情況 √a/√b = √(a/b)

第50題：可否揣測一下出題叫獸到底要考什麼？「被除數和除數的最大公因數=除數和餘數的最大公因數」？有這條規則嗎？

這稱作輾轉相除法原理，在高中數學一上第一章都有，除非你是現在的 99 課綱的高一、二學生，否則都有學到。

[math2012]

第18題：平面的垂心我會解，但空間的垂心就太複雜了，有沒有速解法呢？

提示一下解題的重點，可以用向量來解，不過也要解聯立方程式，用到內積的觀念

可以用空間中三個平面的交點來解，也就是E1：以 BC 向量為法向量，通過 A 的平面
E2：以 AC 向量為法向量，通過 B 的平面，E3：過 A, B, C 三點的平面

以我的解題速度，解這題一定會超過108秒
建議速度和我一樣慢的人，看到空間垂心的題目先猜一個可能的答案，最後有時間再回來算

第37題：可否講解一下負數根號的乘除法有哪些規則

設 a, b 為實數, 則
只有當 a > 0, b < 0 時 √a/√b = - √a/√b, 其餘情況 √a/√b = √(a/b)

a<0,b>0 時不行嗎？這是我百思不得其解的地方

第50題：可否揣測一下出題叫獸到底要考什麼？「被除數和除數的最大公因數=除數和餘數的最大公因數」？有這條規則嗎？

這稱作輾轉相除法原理，在高中數學一上第一章都有，除非你是現在的 99 課綱的高一、二學生，否則都有學到。

原來是「輾轉相除」，多謝指點

[armopen]

第37題：可否講解一下負數根號的乘除法有哪些規則

設 a, b 為實數, 則
只有當 a > 0, b < 0 時 √a/√b = - √a/√b, 其餘情況 √a/√b = √(a/b)

a<0,b>0 時不行嗎？這是我百思不得其解的地方

你可以直接拿八個例子來想想看，原來的定義是當 a > 0, 規定 √(-a) = √a i.
親自將下面的例子做過實數化比較是否相等就知道了。
√2 /√3 =___________，√(2/3) =___________
√2 /√(-3) =___________，√(2/-3) =___________
√(-2) /√3 =___________，√(-2/3) = ___________
√(-2) * √(-3) =___________，√(-2/-3) =___________

[thepiano]

第 1 題
3ax - (6a - 3)y + 3 = 0
3ax - (4a^2 - a)y + (6a^2 - 3a) = 0
6a - 3 = 4a^2 - a
3 = 6a^2 - 3a
上二式要同時成立，故 a 只能是 1


第 11 題
a^2 + b^2 ≧ 2ab
ab ≦ 4/2 = 2

同理 cd ≦ 9/2

ab + cd ≦ 13/2


第 13 題
連 OP，設 OP 交 CD 於 E
易知 OE = PE
CE^2 = √(OC^2 - OE^2) = √(6^2 - 3^2) = 3√3
CD = 2CE = 6√3


第 14 題
設圓 O_1，O_2，O_3 之半徑分別是 r_1，r_2，r_3
O_1O_2 = r_1 + r_2 = 6
O_1O_3 = r_1 + r_3 = 8
O_2O_3 = r_2 + r_3 = 10
r_1 = (6 + 8 + 10)/2 - 10 = 2


第 15 題
h = -3 代進去，然後用綜合除法
可得 a = 1，b = -9，c = 25，d = -26


第 16 題
25 ≡ 1 (mod 8)
25^60 ≡ 1 (mod 8)

25 ≡ -2 (mod 27)
25^60 ≡ (-2)^60 ≡ 2^60 (mod 27)
2^9 ≡ -1 (mod 27)
2^60 ≡ (2^9)^6 * 2^6 ≡ 64 ≡ 10 (mod 27)

除以 27 餘 10 的數，有 10，37，64，91，118，145，...
上列中除以 8 餘 1 的數最小的是 145

故 25^60 除以 27 * 8 = 216 餘 145


第 17 題
α + β = -b/a
αβ = c/a
-b/a = c/a
b = -c

k = a + b + c = a


第 18 題
忘了這題吧 ...
國小教甄幹嘛考這種高中教甄在考的題目


第 21 題
2/x + 3/y = 1
2y + 3x = xy
(x - 2)(y - 3) = 6

x - 2 = 1，y - 3 = 6
x - 2 = 6，y - 3 = 1
x - 2 = 2，y - 3 = 3
x - 2 = 3，y - 3 = 2
...


第 25 題
S_1，S_2，S_3 ... 之面積會成等比數列
AB = 3，BC = 4
令 S_1 之邊長為 x，S_2 之邊長為 y
(3 - x)/3 = x/4
x = 12/7

(3 - y)/3 = (x + y)/4
y = 48/49

公比 r = [(48/49)/(12/7)]^2 = 16/49

所求 = [(12/7)^2]/[1 - (16/49)] = 48/11


第 29 題
以下底數 10 省略

log(log25) + log(1 + log4/log25)
= log(2log5) + log(1 + log2/log5)
= log(2log5 + 2log2)
= log[2(log5 + log2)]
= log2


第 36 題
b - a - 7 = log12300 - log3 - log(10^7) = log4100 - log(10^7) = log(4.1 * 10^(-4))


第 45 題
這題目出得不好
m_1 * m_3 不等於 -1 的情形
(1) m_1 那條直線平行 y 軸，m_3 那條直線平行 x 軸，此時 m_1 * m_3 = 0，m_2 ＞ 0
(2) m_1 那條直線平行 y 軸，m_2 那條直線平行 x 軸，此時 m_3 ＜ 0

但題目說 m_1 ＞ m_2 ＞ m_3
照道理，m_1 不可能是無限大

不過，考這種題目，選 m_3 ＜ 0 是最保險的

[math2012]

第37題：可否講解一下負數根號的乘除法有哪些規則

設 a, b 為實數, 則
只有當 a > 0, b < 0 時 √a/√b = - √a/√b, 其餘情況 √a/√b = √(a/b)

a<0,b>0 時不行嗎？這是我百思不得其解的地方

你可以直接拿八個例子來想想看，原來的定義是當 a > 0, 規定 √(-a) = √a i.
親自將下面的例子做過實數化比較是否相等就知道了。
√2 /√3 =___________，√(2/3) =___________
√2 /√(-3) =___________，√(2/-3) =___________
√(-2) /√3 =___________，√(-2/3) = ___________
√(-2) * √(-3) =___________，√(-2/-3) =___________

原來解題重點在虛數的乘除要先把「虛數實數化」，如「√-2=√2i」
再把握以下重點
i×i=-1
i÷i=1
若除數是虛數不能直接除，要分子分母同乘i (除非被除數和除數都是虛數，實數化後i 消掉)
即√2/√(-3)
=√2/(√3)i → 虛數實數化
=(√2)i/(√3)(-1) → 上下同乘i
=-√(2/3)×i → 上下都是實數就可以直接除了
=-√(2/3)×√(-1) → 把i 換回√(-1)，一實一虛可以直接相乘不用加負號
=-√(2/-3)

但若是√(-2)/√3 就簡單多了(可以直接相除)
√(-2)/√3
=(√2)i/√3 → 虛數實數化，上下都是實數就可以直接除了
=√(2/3) × i
=√(2/3) × √(-1) → 一實一虛可以直接相乘不用加負號
=√(-2/3)

結論：
√(-2) × √(3) = √(-2×3) → 「負正」相乘「直接乘」
√(2) × √(-3) = √(2×-3) → 「正負」相乘「直接乘」
√(-2) × √(-3) = -√(-2×-3) → 「負負」相乘「加負號」
=============================================
√(-2) ÷ √(-3) = √(-2÷-3) → 「負負」相除「直接除」
√(-2) ÷ √(3) = √(-2÷3) → 「負正」相除「直接除」
√(2) ÷ √(-3) = -√(2÷-3) → 「正負」相除「加負號」

請問兩位老師，小弟以上的理解是對的嗎？

[math2012]

第 11 題
a^2 + b^2 ≧ 2ab
ab ≦ 4/2 = 2

同理 cd ≦ 9/2

ab + cd ≦ 13/2

我只知道「算數平均數≧幾何平均數」
即「a+b ≧ 2ab」
為什麼會變成「a^2 + b^2 ≧ 2ab」呢？

第 16 題
25 ≡ 1 (mod 8)
25^60 ≡ 1 (mod 8)

25 ≡ -2 (mod 27)
25^60 ≡ (-2)^60 ≡ 2^60 (mod 27)
2^9 ≡ -1 (mod 27)
2^60 ≡ (2^9)^6 * 2^6 ≡ 64 ≡ 10 (mod 27)

除以 27 餘 10 的數，有 10，37，64，91，118，145，...
上列中除以 8 餘 1 的數最小的是 145

故 25^60 除以 27 * 8 = 216 餘 145

請問您是怎麼看出要用「8和27」來處理的呢
8還容易
27的處理這麼複雜您要想多久？

第 25 題
S_1，S_2，S_3 ... 之面積會成等比數列
AB = 3，BC = 4
令 S_1 之邊長為 x，S_2 之邊長為 y
(3 - x)/3 = x/4
x = 12/7

(3 - y)/3 = (x + y)/4
y = 48/49

公比 r = [(48/49)/(12/7)]^2 = 16/49

所求 = [(12/7)^2]/[1 - (16/49)] = 48/11

從哪裡看出
(1)S_1，S_2，S_3 ... 之面積會成等比數列
(2)公比=邊長相除的平方

第 45 題
這題目出得不好
m_1 * m_3 不等於 -1 的情形
(1) m_1 那條直線平行 y 軸，m_3 那條直線平行 x 軸，此時 m_1 * m_3 = 0，m_2 ＞ 0
(2) m_1 那條直線平行 y 軸，m_2 那條直線平行 x 軸，此時 m_3 ＜ 0

但題目說 m_1 ＞ m_2 ＞ m_3
照道理，m_1 不可能是無限大

不過，考這種題目，選 m_3 ＜ 0 是最保險的

「m3=0」是有可能發生的，那麼「m3<0」就不能算是正確答案
打個比方
殺2個人是殺人(選項2)
殺1個人也是殺人(選項4)
所以這題應該送分
而我應該進複試~~可惡啊！

[thepiano]

第 11 題
a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 ≧ 0
a^2 + b^2 ≧ 2ab


第 25 題
有興趣的話，把 S_3 和 S_4 ... 算出來就知道為何面積會成等比了
面積成等比，公比 = S_2 面積 / S_1 面積 = (S_2 邊長)^2 / (S_1 邊長)^2 = (S_2 邊長 / S_1 邊長)^2


第 16 題
因為 216 = 6^3 = 2^3 * 3^3 = 8 * 27
之所以拆成 8 和 27，是因其倍數很靠近 25
有經驗的話這題不用 3 分鐘


第 45 題
提疑義的時間已過，再加油吧，一定可以每考必進複試
要向本板的 ellipse 老師好好學習