101/07/08 中區國中數學

[woodenmegan]

第37題冪級數，其中x的次方為n^2，造成我的困擾，翻了些書也沒找到類似的
另外第22題我需要專業的判斷，擔心自己想錯
第40题算不出來
誰可以幫忙解答?
感恩

#37
Root test:
令a_n=x^(n^2)/2^n
S=Limit {n->infinity} | a_n |^(1/n)要收斂, 則0<=S <1
S=Limit {n->infinity} |x|^n /2 <1
表示Limit {n->infinity} |x|^n 收斂
所以|x|<1 ,收斂半徑=1
若要算出收斂區間
還要將x=1, x=-1代入原式檢驗級數有沒有收斂

討論到此，我終於搞懂冪級數了，
下次看到X^(n^2)，我想，我會直接寫1了
感謝

[woodenmegan]

請教someone兄

如果第4題題目條件都不變，只是改成對y=-2做旋轉的話，
那如何列式?

[woodenmegan]

附上第24題的解答過程
相信有人跟我一樣的疑問

[thepiano]

第 24 題
小弟的淺見如附件

[someone]

請教someone兄

如果第4題題目條件都不變，只是改成對y=-2做旋轉的話，
那如何列式?

請見附件。

[armopen]

有關中區的第 24 題，官方公佈的參考答案似乎有點問題，

我給出兩種解法加以說明我的想法：

題目： (9^9)^9 在十進位表示法的末兩位數數字是多少？

題目相當於是求 (9^9)^9 mod 10^2 的餘數.

因為 (9^9)^9 = 9^81 和 10^2 互質，由費馬小定理的推廣型式：

知 9^φ(100) = 1 (mod 10^2), 其中 φ(n) 是不大於正整數 n 且與 n 互質的正整數個數.

也就是說 9^40 = 1 (mod 10^2)

所以 9^81 = (9^40)^2 * 9 = 1 * 9 = 9 (mod 10^2), 所以末兩位數應該是 09.
===================================================================
用第一種算法算完的當下，我認為我可能太久沒用 mod 運算是不是算錯了，又
用了另一種方法，也就是二項式定理，仍然得到相同的結果，如下：

9^81 = (10 - 1)^81 = C(81,0)*10^81 - C(81,1)*10^80 + ... - C(81,79)*10^2 + C(81,80)*10 - C(81,81)

顯然上面算式 mod 10^2 和 C(81,80)*10 - C(81,81) = 810 - 1 = 809 同餘，也就是末兩位是 09.
====================================================================

又或者用計算機硬算可以發現

9^9 = 89 (mod 10^2), 而且 (9^9)^9 = (89)^9 (mod 10^2)

由於 89^2 = 21 (mod 10^2), 89^3 = 69 (mod 10^2), 89^4 = 41 (mod 10^2)

89^5 = 49 (mod 10^2), 89^9 = 9 (mod 10^2)

故末兩位數應該是 09.

[woodenmegan]

請教someone兄

如果第4題題目條件都不變，只是改成對y=-2做旋轉的話，
那如何列式?

請見附件。

感謝someone兄

至此，平移我都懂了，
不會再被搞亂了，真棒的感覺

[woodenmegan]

另外第22題我需要專業的判斷，擔心自己想錯

#22
(A)Ratio test
令a_n =100^n/n!
r=Limit {n->Infinity} a_(n+1)/a_n =Limit {n->Infinity} 100/(n+1)= 0
因為0<=r<1 ,by ratio test,此選項收斂

(B)Ratio test
令a_n= (n!)^2 /(2n)!
r=Limit {n->Infinity} a_(n+1)/a_n =Limit {n->Infinity} (n+1)^2 /[(2n+2)*(2n+1)= 1/4
因為0<=r<1 ,by ratio test,此選項收斂

(C)Ratio test
令a_n=n!/n^n
r=Limit {n->Infinity} a_(n+1)/a_n =Limit {n->Infinity} [n/(n+1)]^n
=Limit {n->Infinity} 1/ (1+1/n )^n =1/e ( 定義e= Limit {n->Infinity} (1+1/n)^n )
因為0<=r<1 ,by ratio test,此選項收斂

(D)Limit comparison test
令a_n=1/(3n-2) +1/(3n-1)- 1/(3n)= (9n^2- 2)/[(3n-2)(3n-1)(3n]
令b_n=1/n
因為r=Limit {n->Infinity} a_n/b_n = Limit {n->Infinity} (9n^3- 2n)/[(3n-2)(3n-1)(3n] = 9/27 =1/3 收斂
且Sigma {n=1 to Infinity} b_n =Sigma {n=1 to Infinity} (1/n) 為發散
by limit comparison test ,Sigma {n=1 to Infinity} a_n 也發散
此選項發散

(c)我沒化到e
(D)我真的沒想到這個同發散同收斂的判斷
感謝ellipse兄，真棒

這裡是個好地方，以後也要常來取經

[nan]

24.我覺得有點問題，原本的循環是09->29->49->69->89，按照題目的解讀會是9^81次，會變成09，但如果按照9^(9^9)才會是89。

27.四個分成三組，就是2,1,1分配，故C(4,2)=6。

45.先平方 得到 x-5=m^2*x^2+4mx+4 ,整理得m^2*x^2+(4m-1)x+9=0，有兩相異根，故判別式大於0。
因此可得20m^2+8m-1<0,(10m-1)(2m+1)<0,-0.5<m<0.1，陷阱就在這裡了，x-5開根號只有上半部，斜率為負的時候，只會交一點。
所以 0<m<0.1 還蠻那個的題目。

耶~小弟第1次來這裡po文,這裡有好多高手,以往我不會解的題目都來這邊看看,
獲得好多靈感與正確解法,謝謝各位前輩不辭辛苦的解題,感恩喔~~~

恕刪部分內容,我只截取幾個我想説的題目,
24.此題照題意定義,(9^9)^9 = 09 (mod100) ,
我一開始算用二項式定理是09,嚇我一跳怎麼沒答案,來這邊爬文,才知道真的是沒答案,
怎麼沒有人去申請疑議....時間太趕嗎???
若按照一般定義9^(9^9) = 89 (mod100) 才有選項1,
至於算式已經有好幾位前輩po文了,請自行往前參考,小弟就不再po解法.
我也贊成此題無選項應送分.

27.我覺得27題無選項耶!
此題又沒有說3個非空子集要互斥,所以不一定要分成2 1 1,
例如:{1,2,3,4} = {1,2,3} U {1,2} U {4}
或 {1,2,3,4} = {1,2,3,4} U {2,3,4} U {3}
或 {1,2,3,4} = {1,2} U {3,4} U {2} ....
應有好多好多種方法才對呀,想到這裡就沒力了,太多要討論了,小弟無才....,但是隨便想想都大於10種方法,所以應該沒選項才對.

45.利用D>0可算出-0.5<m<0.1已經很辛苦了,竟然還要配合圖形想交點個數,才會是0<m<0.1,
真是太神了 ,短時間要想到,真是高手壓!!

[ellipse]

45.利用D>0可算出-0.5<m<0.1已經很辛苦了,竟然還要配合圖形想交點個數,才會是0<m<0.1,
真是太神了 ,短時間要想到,真是高手壓!!

#45
其實這題可以用畫圖來判斷
y=(x-5)^0.5表示在x軸上方的拋物線(開口向右)
y=mx+2表示通過(0,2)的直線
依附件的圖所示,m<=0兩圖形相交於一點或沒有交點
當0<m<0.1兩圖形交於A,B兩點(當然0.1需要用判別式算出來)
但是在時間緊迫之下,看到這題只有(A)選項m是大於0
其它選項就可以刪去
所以畫圖一分鐘內就可以搞定這題