a、b、c為R，敘述A：a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0則下列哪一個與A互為充分必要條件？
(A)a^2+b^2+c^2=0 (B)a=b=c (C)(a-b)(b-c)(c-a)=0 (D)a+b+c=0
謝謝老師！
駭客數學(P1-5)
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Re: 駭客數學(P1-5)
a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0
[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]/2 = 0
a = b 且 b = c 且 c = a
即 a = b = c
故選 (B)
(A) a^2 + b^2 + c^2 = 0 表示 a = b = c = 0，此結果代入 a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0 會成立
故 a^2 + b^2 + c^2 = 0 是 a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0 的充分條件
又 a = b = c 代入 a^2 + b^2 + c^2 = 0 不一定成立
故 a^2 + b^2 + c^2 = 0 是 a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0 的非必要條件
(C) (a - b)(b - c)(c - a) = 0
a = b 或 b = c 或 c = a，此結果代入 a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0 不一定會成立
故 (a - b)(b - c)(c - a) = 0 是 a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0 的非充分條件
又 a = b = c 代入 (a - b)(b - c)(c - a) = 0 會成立
故 (a - b)(b - c)(c - a) = 0 是 a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0 的必要條件
[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]/2 = 0
a = b 且 b = c 且 c = a
即 a = b = c
故選 (B)
(A) a^2 + b^2 + c^2 = 0 表示 a = b = c = 0，此結果代入 a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0 會成立
故 a^2 + b^2 + c^2 = 0 是 a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0 的充分條件
又 a = b = c 代入 a^2 + b^2 + c^2 = 0 不一定成立
故 a^2 + b^2 + c^2 = 0 是 a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0 的非必要條件
(C) (a - b)(b - c)(c - a) = 0
a = b 或 b = c 或 c = a，此結果代入 a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0 不一定會成立
故 (a - b)(b - c)(c - a) = 0 是 a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0 的非充分條件
又 a = b = c 代入 (a - b)(b - c)(c - a) = 0 會成立
故 (a - b)(b - c)(c - a) = 0 是 a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0 的必要條件