資優
第 1 題
設 AC 和 PB 交於 F
∠PFC = 16 + 90 = 106 度
∠PDC = 29 + 45 = 74 度
∠PFC + ∠PDC = 180 度
P、F、C、D 四點共圓
∠PCF = ∠PDF = ∠PDB - ∠FDB = ∠PDB - ∠PBD = 29 - 16 = 13 度
∠DEC = 13 + 90 = 103 度
第 10 題
首先函數 y = a^x 是遞減的
b = a^a
c = b^a = (a^a)^a = a^(a^2)
a^2 ＜ a
故 c ＞ b
d = a^b = a^(a^a)
log(a^a) = aloga ＞ loga (loga ＜ 0)
a^a ＞ a
故 b ＞ d
e = a^d = a^[a^(a^a)]
log[a^(a^a)] = a^a * loga
log(a^a) = aloga
a^(a^a) ＜ a^a
故 e ＞ d
c ＞ b ＞ e ＞ d
102 科園國小
版主: thepiano
Re: 102 科園國小
普通科
第 9 題
△AED 和 △BFA 全等 (ASA)
把 △AED 補到右上角，讓 A 和 C 重合；D 和 B 重合
CF = √[8^2 + (7 + 8)^2] = 17
第 20 題
見圖，藍色是沒掃過的面積 = 4(1 - π/4) + (16 - 2 * 2)(12 - 2 * 2) = 100 - π
第 25 題
第 1 次移除 10 塊，剩 90 塊
第 2 次移除 9 塊，剩 81 塊
第 3 次移除 9 塊，剩 72 塊
第 4 次移除 8 塊，剩 64 塊
第 5 次移除 8 塊，剩 56 塊
第 6 次移除 7 塊，剩 49 塊
:
:
第 2n 次移完後剩 (10 - n)^2 塊，n < 10
(10 - n)^2 = 1
n = 9
所求 = 2n = 18
第 9 題
△AED 和 △BFA 全等 (ASA)
把 △AED 補到右上角，讓 A 和 C 重合；D 和 B 重合
CF = √[8^2 + (7 + 8)^2] = 17
第 20 題
見圖，藍色是沒掃過的面積 = 4(1 - π/4) + (16 - 2 * 2)(12 - 2 * 2) = 100 - π
第 25 題
第 1 次移除 10 塊，剩 90 塊
第 2 次移除 9 塊，剩 81 塊
第 3 次移除 9 塊，剩 72 塊
第 4 次移除 8 塊，剩 64 塊
第 5 次移除 8 塊，剩 56 塊
第 6 次移除 7 塊，剩 49 塊
:
:
第 2n 次移完後剩 (10 - n)^2 塊，n < 10
(10 - n)^2 = 1
n = 9
所求 = 2n = 18
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Re: 102 科園國小
第 1 題
AF = BF
AF = EF
BF = B'F
BE = B'E
∠B'EF = ∠BEF = ∠B'FE
B'E = B'F
BEF 是正三角形
AE = 2EF = 2BE
易知 BE = 1，AE = 2
第 3 題
令 a = 1998
原式 = (a + 1)^2 + a^2 + (a - 1)^2 + 2a(1999 - 1997) - (2a + 2)(a - 1) = (a + 2)^2 = 4 * 10^6
第 15 題
AB * BC = AC * BD
AB^2 * BC^2 = AC^2 * BD^2
(AB^2 * BC^2)/AC^2 = 7^2
(AB^2 * BC^2)/(AB^2 + BC^2) = 49
第 18 題
定坐標
B(0，0，0)，C(1，0，0)，D(1/2，√3/2，0)，A(1/2，√3/6，√6/3)
P(1/4，√3/12，√6/6)，Q(3/4，√3/4，0)
PQ = √2/2
第 19 題
前面 dream10 老師已解
第 24 題
f(-1) = 1，f(1) = -4，f(2) = -2，f(3) = 2
第 26 題
BE = CE = 4
AE = √(AB^2 + BE^2) = 4√5
EF * AE = BE * CE
EF = (4/5)√5
第 27 題
設 AD 和 CG 交於 P，AD 和 BF 交於 Q
∠APG = ∠1，PQF = ∠2
∠A + ∠H + ∠G + ∠1 = 360度
∠D + ∠E + ∠F + ∠2 = 360度
又 ∠1 + ∠2 = ∠B + ∠C
故 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G + ∠H = 720度
AF = BF
AF = EF
BF = B'F
BE = B'E
∠B'EF = ∠BEF = ∠B'FE
B'E = B'F
BEF 是正三角形
AE = 2EF = 2BE
易知 BE = 1，AE = 2
第 3 題
令 a = 1998
原式 = (a + 1)^2 + a^2 + (a - 1)^2 + 2a(1999 - 1997) - (2a + 2)(a - 1) = (a + 2)^2 = 4 * 10^6
第 15 題
AB * BC = AC * BD
AB^2 * BC^2 = AC^2 * BD^2
(AB^2 * BC^2)/AC^2 = 7^2
(AB^2 * BC^2)/(AB^2 + BC^2) = 49
第 18 題
定坐標
B(0，0，0)，C(1，0，0)，D(1/2，√3/2，0)，A(1/2，√3/6，√6/3)
P(1/4，√3/12，√6/6)，Q(3/4，√3/4，0)
PQ = √2/2
第 19 題
前面 dream10 老師已解
第 24 題
f(-1) = 1，f(1) = -4，f(2) = -2，f(3) = 2
第 26 題
BE = CE = 4
AE = √(AB^2 + BE^2) = 4√5
EF * AE = BE * CE
EF = (4/5)√5
第 27 題
設 AD 和 CG 交於 P，AD 和 BF 交於 Q
∠APG = ∠1，PQF = ∠2
∠A + ∠H + ∠G + ∠1 = 360度
∠D + ∠E + ∠F + ∠2 = 360度
又 ∠1 + ∠2 = ∠B + ∠C
故 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G + ∠H = 720度
Re: 102 科園國小
請教鋼琴老師:
普通第11題,我這樣算
令剪去等腰直角三角形的邊長為x
10-2x=√2x
x=10/2+√2=10(2-√2)/2=5(2-√2)
答案不對,我也找不到錯在哪?
請您指點我
普通第11題,我這樣算
令剪去等腰直角三角形的邊長為x
10-2x=√2x
x=10/2+√2=10(2-√2)/2=5(2-√2)
答案不對,我也找不到錯在哪?
請您指點我
Re: 102 科園國小
對耶！我算到都糊塗了thepiano 寫:x 您是設為等腰直角三角形的腰長，而題目問的正八邊形的邊長是 √2x
感謝您的指點
Re: 102 科園國小
資優
第 15 題
y = (-1/3)x^2 - (2/3)x + (5/3)
= (-1/3)(x + 1)^2 + 2
x = -1 時，y 有最大值 2
(-1，2) 即為此函數圖形的最高點
第 16 題
x^2 + x = -√3
x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x + 1
= x^4 + 2x^3 + x^2 + x^2 + x + 1
= (x^2 + x)^2 + (x^2 + x) + 1
= (-√3)^2 + (-√3) + 1
= 4 - √3
第 22 題
MN = 7081 = 73 * 97
當然不是從最小的質數開始試，觀察題目的選項
知道這兩質數之和最小是 150，就把它砍半，從 75 附近的質數先來試
p = -(M + N) = -170
第 15 題
y = (-1/3)x^2 - (2/3)x + (5/3)
= (-1/3)(x + 1)^2 + 2
x = -1 時，y 有最大值 2
(-1，2) 即為此函數圖形的最高點
第 16 題
x^2 + x = -√3
x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x + 1
= x^4 + 2x^3 + x^2 + x^2 + x + 1
= (x^2 + x)^2 + (x^2 + x) + 1
= (-√3)^2 + (-√3) + 1
= 4 - √3
第 22 題
MN = 7081 = 73 * 97
當然不是從最小的質數開始試，觀察題目的選項
知道這兩質數之和最小是 150，就把它砍半，從 75 附近的質數先來試
p = -(M + N) = -170