80年國民小學代理代課教師數學第5題

[wen1019]

2的40次方X3的30次方被7除之,其餘數為_______.答案,是2

我的想法是
2的一次方=2 3的一次方=3
2的二次方=4 3的二次方=9
2的三次方=8 3的三次方=27
2的四次方=16 3的四次方=81
2的五次方=32 3的五次方=81
表示為4 次一循環

所以用40/4 餘0 30/4 餘2
因此2就取6 而3 就取9
再用6*9=54
54/7 餘5
這個想法是哪裡錯誤呢
請老師教我

[dream10]

我的想法
2的一次方=2==>除以7餘2
2的二次方=4==>除以7餘4
2的三次方=8==>除以7餘1
2的四次方=16==>除以7餘2
2的五次方=32 ==>除以7餘4
所以3個一循環
(40/3)=13餘1==>2

3的一次方=3==>除以7餘3
3的二次方=9==>除以7餘2
3的三次方=27==>除以7餘6
四次方=>除以7餘4
五次方=>除以7餘5
六次方=>除以7餘1
七次方=>除以7餘3
表示6個一循環
(30/6)=5餘0==>1

2*1=2

所以餘數是2

[thepiano]

提供另一種解法

2^40 * 3^30

= (2 * 3)^30 * (2^3)^3 * 2

≡ (-1)^30 * 1^3 * 2 (mod 7)

≡ 2