數學五問

[yaai0307]

1.求無窮級數1+ 1/(1+2) + 1/(1+2+3) +........+1/(1+2+......+n)+.....之和=? ans:2


2.x+1/x=1，則x^100+1/x^100=? ans:-1


3.函數y=2^x+2^-x，則其值域:?--------ANS:{y>=2}

4.若a=15^1/2-11^1/2

b=14^1/2-10^1/2

c=13^1/2-3，
則a、b、c 大小?

5.設A=矩陣
3 2

-1 1
若點P(x,y)經過方陣A的變換後的像為(5,5)，則x+y=?


(抱歉！第五題的符號我劃不出來)

[thepiano]

第 1 題
1 + 1/(1 + 2) + 1/(1 + 2 + 3) + ...... + 1/(1 + 2 + ... + n)
= Σ{1 / [k(k + 1)/2]} (k = 1 ～ n)
= 2Σ[1/k - 1/(k + 1)] (k = 1 ～ n)

所求 = 2[1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ...... + 1/n - 1/(n + 1) + ......] = 2　(因為 n → ∞)


第 2 題
x + 1/x = 1
x^2 - x + 1 = 0
x = ω^2，其中 ω 是 x^2 + x + 1 = 0 之根
ω^3 = 1
ω^2 + ω + 1 = 0

x^100 + 1/x^100 = ω^200 + 1/ω^200 = ω^2 + 1/ω^2 = ω^2 + ω = -1


第 3 題
2^x 和 2^(-x) 都大於 0
接下來用算幾不等式


第 4 題
a - b = (√15 + √10) - (√14 + √11)
(√15 + √10)^2 = 25 + 2√150
(√14 + √11)^2 = 25 + 2√154
√15 + √10 ＜ √14 + √11
a - b ＜ 0
a ＜ b
......


第 5 題
矩陣的乘法
3x + 2y = 5
-x + y = 5

解聯立

[yaai0307]

[quote="thepiano"]第 1 題
1 + 1/(1 + 2) + 1/(1 + 2 + 3) + ...... + 1/(1 + 2 + ... + n) = Σ1 / [n(n + 1)/2] = 2[1/n - 1/(n + 1)]
所求 = 2[1 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ...... + 1/n - 1/(n + 1) + ......] = 2


抱歉！這堤有點不懂...請問一下
Σ中n的值是由1到無限嗎?
還有，所求為什麼不是2[1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4........??

麻煩老師了！謝謝！

[thepiano]

第 1 題
之前打太快，已重打

[yaai0307]

非常謝謝老師！

[ruby0519]

第 2 題
x + 1/x = 1
x^2 - x + 1 = 0x = ω^2，其中 ω 是 x^2 + x + 1 = 0 之根
ω^3 = 1
ω^2 + ω + 1 = 0

x^100 + 1/x^100 = ω^200 + 1/ω^200 = ω^2 + 1/ω^2 = ω^2 + ω = -1

老師紅色字部分
有點矛盾耶
可以指導一下嗎

[thepiano]

請問哪裡矛盾？

[ruby0519]

第 2 題
x + 1/x = 1
x^2 - x + 1 = 0x = ω^2，其中 ω 是 x^2 + x + 1 = 0 之根
ω^3 = 1
ω^2 + ω + 1 = 0

x^100 + 1/x^100 = ω^200 + 1/ω^200 = ω^2 + 1/ω^2 = ω^2 + ω = -1

老師紅色字部分
可以指導一下嗎

另請教一題投票問題
1. 有4000張票投給15個候選人，要選出3個市議員，請問拿到幾張票後可確定當選？
老師這題我算1001票
但出題者說少了兩個字至少
所以1334票也對
但是老師請問一下
如果每人1333票剩下的一票給剩下的12位候選人
則1333票即可當選
又需要可慮每個候選人投給自己的問題嗎
謝謝

[thepiano]

第 2 題
改成以下這樣才對

x + 1/x = 1
x^2 - x + 1 = 0
x = -ω
其中 ω 是 x^2 + x + 1 = 0 之根
ω^3 = 1
ω^2 + ω + 1 = 0

x^100 + 1/x^100 = ω^100 + 1/ω^100 = ω + 1/ω = ω + ω^2 = -1


另一題，不管有沒有 "至少" 二字，都是 1001 票就篤定當選

出題者有點硬凹 ......

也無須考慮 "每個候選人投給自己的問題"，因為那些票也是在那 4000 票之中