99全國高中職

[ruby0519]

請問99全國
選擇第1.9.5題
謝謝

[thepiano]

第 1 題
作一個過 A 和 B 且和 x 軸相切之圓 O，令切點為 P，此時 tan∠APB 有最大值
可參考 老王 兄的證明
http://forum.nta.org.tw/examservice/att ... 1173753958

過 AB 中點 C(0，13/2) 作 AB 之中垂線，可知 O 之縱坐標為 13/2，OP = 13/2
BC = 5/2，OB = 13/2，OC = 6
P(6，13/2)
tan∠APB = tan(∠BPO - ∠APO)
和角公式 ......


第 5 題
請參考 老王 兄精采的遞迴做法
http://math.pro/db/thread-978-1-1.html


第 9 題
寫一個比較容易懂的做法

橢圓中心 (2，0)，c = 2
令橢圓方程式為 [(x - 2)^2 / a^2] + [y^2 / (a^2 - 4)] = 1
y 用 -x - 1 代入
[(x - 2)^2 / a^2] + [(-x - 1)^2 / (a^2 - 4)] = 1

展開整理成 (2a^2 - 4)x^2 - (2a^2 - 16)x - (a^4 - 9a^2 + 16) = 0
令 a^2 = t
(2t - 4)x^2 - (2t - 16)x - (t^2 - 9t + 16) = 0

由於相切，上述方程只有一解
(2t - 16)^2 + 4(2t - 4)(t^2 - 9t + 16) = 0
t = 0 or 4 or 13/2
a = 0 or 2 or √(13/2)

只有 √(13/2) 符合，2a = √26

[ruby0519]

可以再問6.7.10題
謝謝

[thepiano]

第 6 題
(n^3 - 3n^2 + 5n - 13) / (n - 3) = (n^2 + 5) + [2/(n - 3)]
n - 3 = 2，n = 5
n - 3 = -2，n = 1
n - 3 = 1，n = 4
n - 3 = -1，n = 2
以上四個代回 (n^2 + 5) + [2/(n - 3)] 檢驗，均為質數


第 7 題
http://math.pro/db/thread-978-1-1.html
參考 "iamcfg" 老師的提示
該行列式是
｜0　　2　 　1｜
｜3　　-1　　2｜
｜4　　0　　 1｜


第 10 題
http://math.pro/db/thread-978-1-1.html
參考 "老王" 老師的提示
黎曼和 ......
所求 = ∫[x / (1 + x^2)] (從 0 積到 1)