12.x,y為實數，已知x^2-2xy+9y^2=1，則x^2+y^2的最大值為a，最小值為b，求a+b=_____----5/4
13.滿足a+b+c+d=abcd的正整數a,b,c,d有____組解----12
請問一下這兩題怎麼做?
謝謝
97台南女中Q12.Q13
版主: thepiano
Re: 97台南女中Q12.Q13
第 12 題
先旋轉橢圓消去 xy 項，變成 (5 - √17)x^2 + (5 + √17)y^2 = 1
x^2 + y^2 之最大值 a = 1/(5 - √17)
x^2 + y^2 之最小值 b = 1/(5 + √17)
a + b = 5/4
第 13 題
不妨令 a ≧ b ≧ c ≧ d
4a ≧ a + b + c + d = abcd
bcd ≦ 4
(b，c，d) = (1，1，1)，(2，1，1)，(3，1，1)，(4，1，1)，(2，2，1)
一一檢查，很快可知 (a，b，c，d) = (4，2，1，1)
所求為 4!/2! = 12 組解
先旋轉橢圓消去 xy 項，變成 (5 - √17)x^2 + (5 + √17)y^2 = 1
x^2 + y^2 之最大值 a = 1/(5 - √17)
x^2 + y^2 之最小值 b = 1/(5 + √17)
a + b = 5/4
第 13 題
不妨令 a ≧ b ≧ c ≧ d
4a ≧ a + b + c + d = abcd
bcd ≦ 4
(b，c，d) = (1，1，1)，(2，1，1)，(3，1，1)，(4，1，1)，(2，2，1)
一一檢查，很快可知 (a，b，c，d) = (4，2，1，1)
所求為 4!/2! = 12 組解