114 新竹高中

[thepiano]

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第 12 題
AC/sin45∘= AB/sin75∘
AC = 6√3 - 6

作 DM 垂直 AC 於 M，作 FN 垂直 AC 於 N
易知 △DMG 和 △GNF 全等

設 MG = NF = x
CN = tan15∘* NF = (2 - √3)x
AM = 1，DM = GN = √3

MG + CN = AC - AM - GN
x + (2 - √3)x = 6√3 - 6 - 1 - √3
(3 - √3)x = 5√3 - 7
x = (5√3 - 7)/(3 - √3)

ABCD = DG^2 = x^2 + 3 = [(5√3 - 7)/(3 - √3)]^2 + 3 = (28 - 8√3)/3

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第 11 題
作 AF 垂直 DE 於 F

△PAF 中，PA = 4、PF = √3、AF = √7
cos∠PAF = (5/14)√7，sin∠PAF = (1/14)√21
P 到直線 AF 的距離 = (1/14)√21 * 4 = (2/7)√21

△PAE 中，PA = 4、PE = 2、AE = 2√2
cos∠PAE = (5/8)√2，sin∠PAE = (1/8)√14
P 到直線 AE 的距離 = (1/8)√14 * 4 = (1/2)√14

所求 sinθ = P 到直線 AF 的距離 / P 到直線 AE 的距離 = (2/7)√21 / (1/2)√14 = (2/7)√6

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第 9 題
疊合後 = 1 + 3√2sin(x + (5/12)π) - √2sin(3x + (1/4)π)
微分後 = 3√2cos(x + (5/12)π) - 3√2cos(3x + (1/4)π) = 0
可求出 x = (1/3 + 2k)π 或 (-1/6 + 2k)π 時，有最大值 5