三角形的心

[dcfv]

老師，又要麻煩您了 感恩

[thepiano]

第 1 題
(1)
利用海龍公式求出 △ABC = 84
作 AD 垂直 BC 於 D
易知 AD = 12，CD = 9，BD = 5

設直線 AG 交 BC 於 E，DE = 2
AE = √(2^2 + 12^2) = 2√37

AG = (2/3)AE = (4/3)√37

(2)
設 △ABC 之內切圓與 AB 切於 D，與 BC 切於 E，與 CA 切於 F
利用 △ABC = △AIB + △BIC + △CIA
可求出 DI = EI = FI = 4

令 BE = x，CE = 14 - x
則 BD = x，DA = 13 - x，AF = 13 - x，FC = x + 2，CE = x + 2
14 - x = x + 2
x = 6
BI = √(4^2 + 6^2) = 2√13


第 2 題
F 到 AC 和 BC 之距離相等
△ACF：△BCF = AC：BC = 6：7
△BCF = (7/13)△ABC

△BIC = [7/(8 + 7 + 6)]△ABC = (1/3)△ABC
△BIF = (7/13 - 1/3)△ABC = (8/39)△ABC

FI / CI = △BIF / △BIC = [(8/39)△ABC] / [(1/3)△ABC] = 8/13


第 3 題
△ABC 和 △GMN 相似
作直線 AG 交 MN 於 D
GM：AB = GD：AD = 1：3
GM = AB / 3 = 5/3


第 4 題
做法同第 2 題


第 5 題
做法同第 1 題之 BI
AI = √8
BI = √20
CI = √40


第 6 題
固定 A 點，將 △ABC 順時針旋轉 90 度
則 B，A，E 三點共線，C 和 G 會重合
△GAE 面積 = △ABC 面積 (等底同高)


第 7 題
作 CP 垂直 AB 於 P，DQ 垂直 AB 於 Q，FR 垂直 HG 於 R
則 FR = (1/2)(CP - DQ)

△ABC - △ABD = (1/2) * AB * (CP - DQ) = 24 - 16 = 8
CP - DQ = 16 / AB

EFGH = HG * FR = (1/2) * AB * (1/2) * (CP - DQ) = 4