100 中和高中

[thepiano]

PTT studyteacher 板
感謝網友 koko21021 兄分享

計算題(1~11 八分,12題12分)

1.利用二項式定理，證明3^(2n+2)-8n-9可以被64整除

2.一圓錐高h，底圓半徑r，一內接圓柱，高y底圓半徑x，試求內接圓柱的最大體積

3.N 為三位數，是11的倍數， N/11為N的各位數字的平方和，試找出所有的N

4.p、q 為正整數，p/q=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+ .....-1/1318+1/1319，證明p可被1979整除

5.某人向銀行借了100萬，年利率7.2%，從第二月起，每月固定還一筆錢，10年後還清，請問每年需固定還多少錢?
(求至整數位，小數點以下四捨五入)(log1.006=0.0025,log1.995=0.3)

6.a+b=√3,ab=1,求a^100+b^100

7.二項分佈(n,p)=(5,1/2)，x表成功的次數
(1)求P(u-σ<x<u+σ)
(2)結果是否和常態分佈相同

8.f(x)=x^3-2x^2-1,g(x)=x^2+6x-9,求兩函數圍成的面積

9.空間中一圓過三點(1,-2,2)、(1,4,0)、(-4,1,1)，求圓心座標

10.就k討論log_2(|3x^3-18x+4√2|)=k之實根個數

11.A=[a_{ij}],i,j屬於{0,1,2}，A為2*2矩陣，試問可逆的A有幾個?

12.(1)求所有正整數n滿足2^n-1可被7整除
(2)試證：沒有正整數n使2^n+1可被7整除

[thepiano]

以下連結由 bugmens 兄提供

第 3 題
http://tinyurl.com/666ptak

第 4 題
http://tinyurl.com/6yh6szq

[thepiano]

其中幾題的答案，請參考附件，有錯請指正

[thepiano]

第 10 題
先大略畫出 |3x^3 - 18x + 4√2| 之圖形
發現其圖形的兩個極值點為 (√2，8√2) 和 (-√2，16√2)

再考慮 y = |3x^3 - 18x + 4√2| 和 y = t 之交點

二交點，t ＞ 16√2
三交點，t = 16√2
四交點，8√2 ＜ t ＜ 16√2
五交點，t = 8√2
六交點，t ＜ 8√2

由於 t = 2^k，再把 t 轉成 k

[thepiano]

第 9 題
答案應是 (-1/2，1，1)
不過做法繁複，有沒有高手願意分享一下漂亮的解法

[ellipse]

第 9 題
答案應是 (-1/2，1，1)
不過做法繁複，有沒有高手願意分享一下漂亮的解法

假設A(1,-2,2),B(1,4,0),C(-4,1,1)
則BC=(35)^0.5 , AB=(40)^0.5 , AC=(35)^0.5
由此可見三角形ABC為等腰三角形
又設AB中點為D,則D為(1,1,1)
且CD垂直平分AB,CD=5
令三角形ABC的外接圓半徑 =R,外接圓的圓心為O(p,q,r)
則在三角形BOD中 R^2=(5-R)^2+[(10)^0.5]^2
=> R=7/2 => CO:OD=7/2:(5-7/2)=7:3
所求O(p,q,r)=7/10 *(1,1,1) +3/10*(-4,1,1)
=(-1/2 ,1, 1)

[M9331707]

第9題
先求過A(1,-2,2),B(1,4,0)之中垂面方程式3y-z-2=0
再求過B(1,4,0),C(-4,1,1)之中垂面方程式10x+6y-2z+1=0
最後求過A,B,C三點之平面方程式y+3z-4=0(可用三階行列式較快)
解聯立可得此三平面之交點即為過A,B,C三點之圓心(-1/2,1,1) ^__^

[thepiano]

更正第 5 題之答案為 144360
做法可參考附件

[Joe]

想請問第七題 感謝大大指點

[八神庵]

想請問第七題 感謝大大指點

http://math.pro/db/thread-1112-1-2.html