駭客數學(p12-33)不好意思~忘了改為2003版

[j2e037]

ABCDEF是一個正六邊形(即 。問：圖中的陰影部分面積是這個正六邊形面積的幾分之幾？(圖如附檔)
(Ans:1/6)
麻煩老師解惑，謝謝!

[thepiano]

把正六邊形的 3 條對角線畫出來，可將正六邊形分成 6 個全等的正三角形
可看出藍色三角形，跟此正三角形全等，所以答案是 1/6


要算的話也可以
設正六邊形邊長為 1，其面積為 (√3 / 4) * 6 = (3/2)√3
AE 和 DF 交於 G，CE 和 DF 交於 H
易用餘弦定理求出 DF = √3，FG = 1/√3
FG = GH = HD = 1/√3

△EFG = △EHD = △EGH = (√3 / 4)(1/√3)^2 = √3 / 12
白色部份共 15 個面積相等的三角形

所求 = [(3/2)√3 - (√3 / 12) * 15] / [(3/2)√3] = 1/6

[acdimns]

請問老師,
第一種做法:「藍色三角形，跟此正三角形全等」是用看的看出來的嗎?
第二種做法:「易用餘弦定理求出 DF = √3，FG = 1/√3」其中的FG = 1/√3是怎麼來的?

[thepiano]

1. 的確是用看的

2. △EGF 中，∠EGF = 120 度，EG = FG
EF^2 = EG^2 + FG^2 - 2 * EG * FG * cos120度
令 FG = x
則 1 = x^2 + x^2 - 2x^2 * (-1/2)
x = 1/√3

[acdimns]

1.老師是不是圖要畫得夠精準才判斷的正確?
2.
FG = GH = HD是定理嗎?
(√3 / 12) 白色三角形面積是如何求出?

[thepiano]

1. 的確要畫得夠精準才能判斷正確

2. DF = √3，FG = 1/√3 = √3/3
HD = FG = √3/3，GH = 1 - √3/3 - √3/3 = √3/3
故 FG = GH = HD，這算簡單的東西，不可能是定理

△EGF = (1/2) * EF * FG * sin∠EFG = (1/2) * 1 * (√3/3) * (1/2) = √3/12